Compus de dodecaedru și icosaedru

Compus de dodecaedru și icosaedru (prima stelare a icosidodecaedrului)
Descriere
Tip	compus poliedric
Fețe	32 (20 triunghiuri echilaterale       12 pentagoane)
Laturi (muchii)	60
Vârfuri	32
Simbol Schläfli	{5,3}+{3,5}
Diagramă Coxeter	∪
Grup de simetrie	icosaedrică (Ih), de ordinul 60
Arie	24,138 a2   (a = latura {5,3})
Volum	9,579 a3   (a = latura {5,3})
Poliedru dual	autodual
Proprietăți	Constituenți: 1 dodecaedru 1 icosaedru

Compusul de dodecaedru și icosaedru este un compus poliedric, format dintr-un dodecaedru și un icosaedru regulat, având același centru și aceeași sferă mediană. Este unul dintre cei cinci compuși construiți dintr-un poliedru platonic sau poliedru Kepler–Poinsot și dualul său. Poate fi văzut și ca o stelare. Anvelopa sa convexă este un triacontaedru rombic.

Are indicele Wenninger W₄₇.

Următoarele formule pentru arie, A și volum, V sunt stabilite pentru lungimea laturilor dodecaedrului a:^[1]

${\displaystyle A={\frac {15}{4}}{\sqrt {13+5{\sqrt {5}}+{\sqrt {150+66{\sqrt {5}}}}}}\,a^{2}\approx 24,137553}$

${\displaystyle V={\frac {5}{16}}(15+7{\sqrt {5}})\,a^{3}\approx 9,578899}$

Poate fi considerat un compus poliedric, format dintr-un dodecaedru și un icosaedru regulat, având același centru și aceeași sferă mediană. Este unul dintre cei cinci compuși construiți dintr-un poliedru platonic sau poliedru Kepler–Poinsot și dualul său.

Are simetrie icosaedrică (I_h) și are aceleași aranjament al vârfurilor ca și triacontaedrul rombic, ca urmare acesta este anvelopa sa convexă.

Poate fi văzut ca echivalentul tridimensional al compusului de două pentagoane ({10/2} „decagramă”); această serie continuă până la infinit, echivalentul din patru dimensiuni fiind compusul de 120-celule și 600-celule, iar în dimensiuni superioare compuși de pavări hiperbolice.

Dodecaedrul și dualul său, icosaedrul

Intersecția ambelor poliedre este icosidodecaedrul, iar anvelopa lor convexă este triacontaedrul rombic.

Văzut de pe axele de simetrie cu 2 poziții, 3 poziții și 5 poziții. Decagonul din dreapta este poligonul Petrie al ambelor poliedre.

Dacă intersecțiile laturilor ar fi vârfuri, aplicarea pe o sferă ar fi aceeași cu cea a unui hexacontaedru romboidal.

Poate fi considerat prima stelare a icosidodecaedrului și are indicele Wenninger 47.

Poate fi văzut ca un icosidodecaedru cu piramide pentagonale și triunghiulare adăugate pe fiecare față.

Fațetele stelării pentru construcție sunt:

• en Wenninger, Magnus (1974). Polyhedron Models. Cambridge University Press. ISBN 0-521-09859-9. 

• Lista compușilor poliedrici uniformi

Alți compuși de poliedre platonice duale

• Compus de două tetraedre
• Compus de cub și octaedru

Alți compuși de poliedre Kepler–Poinsot duale

• Compus de marele icosaedru și marele dodecaedru stelat
• Compus de micul dodecaedru stelat și marele dodecaedru

Portal Matematică