Poliedru Catalan

Tetraedru triakis, icositetraedru pentagonal și triacontaedru disdiakis.

Poliedrele sunt dualele celor de deasupra.
Părțile vizibile ale poliedrelor Catalan sunt piramide regulate.

În matematică, un poliedru Catalan, sau dual arhimedic, este un poliedru dual al unui poliedru arhimedic. Există 13 poliedre Catalan. Acestea sunt numite după matematicianul belgian Eugène Catalan care le-a descris pentru prima dată în 1865.

Poliedrele Catalan sunt toate convexe. Ele sunt tranzitive pe fețe, dar nu sunt tranzitive pe vârfuri. Asta datorită faptului că dualele poliedrelor arhimedice sunt tranzitive pe vârfuri, dar nu și pe fețe. Spre deosebire de poliedrele platonice și cele arhimedice, fețele poliedrelor Catalan nu sunt poligoane regulate. Totuși, figurile vârfurilor poliedrelor Catalan sunt regulate și au unghiuri diedre constante. Fiind tranzitive pe fețe, poliedrele Catalan sunt izoedre.

În plus, două dintre poliedrele Catalan, dodecaedrul rombic și triacontaedrul rombic, sunt tranzitive pe muchii. Acestea sunt dualele a două poliedre arhimedice cvasiregulate.

Așa cum prismele și antiprismele nu sunt considerate poliedre arhimedice, la fel bipiramidele și trapezoedrele, în ciuda faptului că sunt tranzitive pe fețe, nu sunt considerate poliedre Catalan.

Două dintre poliedrele Catalan, icositetraedrul pentagonal și hexacontaedrul pentagonal, sunt chirale, duale la chiralele cub snub și dodecaedru snub. Acestea vin fiecare în două forme enantiomorfe. Fără a lua în considerare enantiomorfele, bipiramidele și trapezoedrele, există în total 13 poliedre Catalan.

Poliedrele Catalan, împreună cu dualele lor, poliedrele arhimedice, pot fi grupate în simetriile tetraedrică, octaedrică și icosaedrică. Atât pentru simetria octaedrică, cât și pentru cea icosaedrică există șase forme. Singurul poliedru Catalan cu o simetrie tetraedrică autentică este tetraedrul triakis (dual al tetraedrului trunchiat). Dodecaedrul rombic și hexaedrul tetrakis au simetrie octaedrică, dar pot fi colorate pentru a avea doar simetrie tetraedrică. De asemenea, există variante rectificate și snub cu simetrie tetraedrică, dar acestea sunt poliedre platonice în loc să fie arhimedice, deci dualele lor sunt platonice în loc de Catalan. (Sunt afișate cu fundal maro în tabelul de mai jos.)

Simetrie tetraedrică

arhimedic (platonic)
Catalan (platonic)

Simetrie octaedrică

arhimedic
Catalan

Simetrie icosaedrică

Arhimedic
Catalan

Nume (Nume dual) Simbol Conway	Imagini	Schelet ortogonal	Poligonul feței	Unghiurile feței (°)	Unghi diedric (°)	Fețe Muchii Vârfuri	Sim.
tetraedru triakis (tetraedru trunchiat) "kT"			triunghi isoscel V3.6.6	112.885 33.557 33.557	129.521	12 18 8	Td
dodecaedru rombic (cuboctaedru) "jC"			romb V3.4.3.4	70.529 109.471 70.529 109.471	120	12 24 14	Oh
octaedru triakis (cub trunchiat) "kO"			triunghi isoscel V3.8.8	117.201 31.400 31.400	147.350	24 36 14	Oh
hexaedru tetrakis (octaedru trunchiat) "kC"			triunghi isoscel V4.6.6	83.621 48.190 48.190	143.130	24 36 14	Oh
icositetraedru romboidal (rombicuboctaedru) "oC"			romboid V3.4.4.4	81.579 81.579 81.579 115.263	138.118	24 48 26	Oh
dodecaedru disdiakis (cuboctaedru trunchiat) "mC"			triunghi scalen V4.6.8	87.202 55.025 37.773	155.082	48 72 26	Oh
icositetraedru pentagonal (cub snub) "gC"			pentagon V3.3.3.3.4	114.812 114.812 114.812 114.812 80.752	136.309	24 60 38	O
triacontaedru rombic (icosidodecaedru) "jD"			romb V3.5.3.5	63.435 116.565 63.435 116.565	144	30 60 32	Ih
icosaedru triakis (dodecaedru trunchiat) "kI"			triunghi isoscel V3.10.10	119.039 30.480 30.480	160.613	60 90 32	Ih
dodecaedru pentakis (icosaedru trunchiat) "kD"			triunghi isoscel V5.6.6	68.619 55.691 55.691	156.719	60 90 32	Ih
hexacontaedru romboidal (rhombicosidodecaedru) "oD"			romboid V3.4.5.4	86.974 67.783 86.974 118.269	154.121	60 120 62	Ih
triacontaedru disdiakis (icosidodecaedru trunchiat) "mD"			triunghi scalen V4.6.10	88.992 58.238 32.770	164.888	120 180 62	Ih
hexacontaedru pentagonal (dodecaedru snub) "gD"			pentagon V3.3.3.3.5	118.137 118.137 118.137 118.137 67.454	153.179	60 150 92	I

Toate unghiurile diedre ale unui poliedru Catalan sunt egale. Notând valoarea lor cu ${\displaystyle \theta }$ , și notând unghiurile celor ${\displaystyle p}$ fețe care se întâlnesc într-un vârf cu ${\displaystyle \alpha _{p}}$, există relația

${\displaystyle \sin(\theta /2)=\cos(\pi /p)/\cos(\alpha _{p}/2)}$.

care poate fi folosită pentru a calcula ${\displaystyle \theta }$ și ${\displaystyle \alpha _{p}}$, ${\displaystyle \alpha _{q}}$, ... doar din ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle q}$... etc.

Dintre cele 13 poliedre Catalan, 7 au fețe triunghiulare. Acestea sunt de forma Vp.q.r, unde p, q și r au valori între 3, 4, 5, 6, 8 și 10. Unghiurile ${\displaystyle \alpha _{p}}$, ${\displaystyle \alpha _{q}}$ și ${\displaystyle \alpha _{r}}$ se pot calcula în modul următor. Fie ${\displaystyle a=4\cos ^{2}(\pi /p)}$, ${\displaystyle b=4\cos ^{2}(\pi /q)}$, ${\displaystyle c=4\cos ^{2}(\pi /r)}$ și fie

${\displaystyle S=-a^{2}-b^{2}-c^{2}+2ab+2bc+2ca}$.

Atunci

${\displaystyle \cos(\alpha _{p})={\frac {S}{2bc}}-1}$,

${\displaystyle \sin(\alpha _{p}/2)={\frac {-a+b+c}{2{\sqrt {bc}}}}}$.

Pentru ${\displaystyle \alpha _{q}}$ și ${\displaystyle \alpha _{r}}$ expresiile sunt, bineînțeles, similare. Unghiul diedru ${\displaystyle \theta }$ poate fi calculat din

${\displaystyle \cos(\theta )=1-2abc/S}$.

De exemplu, pentru triacontaedrul disdiakis (${\displaystyle p=4}$, ${\displaystyle q=6}$ și ${\displaystyle r=10}$, rezultă ${\displaystyle a=2}$, ${\displaystyle b=3}$ și ${\displaystyle c=\phi +2}$, unde ${\displaystyle \phi }$ este secțiunea de aur) se obține ${\displaystyle \cos(\alpha _{4})={\frac {2-\phi }{6(2+\phi )}}={\frac {7-4\phi }{30}}}$ și ${\displaystyle \cos(\theta )={\frac {-10-7\phi }{14+5\phi }}={\frac {-48\phi -155}{241}}}$.

Dintre cele 13 poliedre Catalan, 4 au fețe patrulatere. Acestea sunt de forma Vp.q.p.r, unde p, q și r au valori între 3, 4 și 5. Unghiurile ${\displaystyle \alpha _{p}}$ se pot calcula cu relația

${\displaystyle \cos(\alpha _{p})={\frac {2\cos ^{2}(\pi /p)-\cos ^{2}(\pi /q)-\cos ^{2}(\pi /r)}{2\cos ^{2}(\pi /p)+2\cos(\pi /q)\cos(\pi /r)}}}$.

Din aceasta, ${\displaystyle \alpha _{q}}$, ${\displaystyle \alpha _{r}}$și unghiul diedru pot fi calculate ușor. Alternativ, fie ${\displaystyle a=4\cos ^{2}(\pi /p)}$, ${\displaystyle b=4\cos ^{2}(\pi /q)}$ și ${\displaystyle c=4\cos ^{2}(\pi /p)+4\cos(\pi /q)\cos(\pi /r)}$. Atunci ${\displaystyle \alpha _{p}}$ și ${\displaystyle \alpha _{q}}$ pot fi calculate din relațiile pentru cazul triunghiular. Unghiul ${\displaystyle \alpha _{r}}$ poate fi calculat similar. Fețele sunt romboidale, sau, dacă ${\displaystyle q=r}$, romburi. De exemplu, pentru icositetraedrul romboidal (${\displaystyle p=4}$, ${\displaystyle q=3}$ și ${\displaystyle r=4}$) se obține ${\displaystyle \cos(\alpha _{4})={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}{\sqrt {2}}}$.

Dintre cele 13 poliedre Catalan, 2 au fețe pentagonale. Acestea sunt de forma Vp.p.p.p.q, unde p=3 și q= 4 sau 5. Unghiurile ${\displaystyle \alpha _{p}}$ pot fi calculate din ecuația de gradul trei

${\displaystyle 8\cos ^{2}(\pi /p)\cos ^{3}(\alpha _{p})-8\cos ^{2}(\pi /p)\cos ^{2}(\alpha _{p})+\cos ^{2}(\pi /q)=0}$.

Pentru un poliedru Catalan ${\displaystyle {\bf {C}}}$, fie ${\displaystyle {\bf {A}}}$ dualul față de sfera mediană a ${\displaystyle {\bf {C}}}$. Atunci ${\displaystyle {\bf {A}}}$ este un poliedru arhimedic având aceeași sferă mediană. Se notează lungimea muchiilor lui ${\displaystyle {\bf {A}}}$ cu ${\displaystyle l}$. Fie ${\displaystyle r}$ raza cercului înscris în fețele lui ${\displaystyle {\bf {C}}}$, ${\displaystyle r_{m}}$ raza mediană a lui ${\displaystyle {\bf {C}}}$ și ${\displaystyle {\bf {A}}}$, ${\displaystyle r_{i}}$ raza cercului înscris în fețele lui ${\displaystyle {\bf {C}}}$ și ${\displaystyle r_{c}}$ raza cercului circumscris fețelor lui ${\displaystyle {\bf {A}}}$. Aceste mărimi pot fi exprimate în funcție de ${\displaystyle l}$ și unghiul diedric ${\displaystyle \theta }$ prin relațiile:

${\displaystyle r^{2}={\frac {l^{2}}{8}}(1-\cos \theta )}$,

${\displaystyle r_{m}^{2}={\frac {l^{2}}{4}}{\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}$,

${\displaystyle r_{i}^{2}={\frac {l^{2}}{8}}{\frac {(1-\cos \theta )^{2}}{1+\cos \theta }}}$,

${\displaystyle r_{c}^{2}={\frac {l^{2}}{2}}{\frac {1}{1+\cos \theta }}}$.

Între aceste mărimi există relațiile ${\displaystyle r_{m}^{2}=r_{i}^{2}+r^{2}}$, ${\displaystyle r_{c}^{2}=r_{m}^{2}+l^{2}/4}$ și ${\displaystyle r_{i}r_{c}=r_{m}^{2}}$.

De exemplu, fie ${\displaystyle {\bf {A}}}$ un cuboctaedru cu laturile ${\displaystyle l=1}$. Atunci ${\displaystyle {\bf {C}}}$ este un dodecaedru rombic. Cu relațiile pentru fețe patrulatere ${\displaystyle p=4}$ și ${\displaystyle q=r=3}$ se obține ${\displaystyle \cos \theta =-1/2}$, rezultă ${\displaystyle r_{i}=3/4}$, ${\displaystyle r_{m}={\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}}$, ${\displaystyle r_{c}=1}$, ${\displaystyle r={\frac {1}{4}}{\sqrt {3}}}$.

Toate vârfurile lui ${\displaystyle {\bf {C}}}$ de tip ${\displaystyle p}$ se află pe o sferă cu raza ${\displaystyle r_{c,p}}$ dată de

${\displaystyle r_{c,p}^{2}=r_{i}^{2}+{\frac {2r^{2}}{1-\cos \alpha _{p}}}}$,

și similar pentru ${\displaystyle q,r,\ldots }$.

Dual, există o sferă tangentă în centrele tuturor fețelor lui ${\displaystyle {\bf {A}}}$ care sunt poligoane regulate cu ${\displaystyle p}$ laturi (și similar pentru ${\displaystyle q,r,\ldots }$). Raza ${\displaystyle r_{i,p}}$ acestei sfere este dată de

${\displaystyle r_{i,p}^{2}=r_{m}^{2}-{\frac {l^{2}}{4}}\cot ^{2}(\pi /p)}$.

Între aceste două raze există relația ${\displaystyle r_{i,p}r_{c,p}=r_{m}^{2}}$. Continuând exemplul: ${\displaystyle \cos \alpha _{3}=-1/3}$ și ${\displaystyle \cos \alpha _{4}=1/3}$, care dă ${\displaystyle r_{c,3}={\frac {3}{8}}{\sqrt {6}}}$, ${\displaystyle r_{c,4}={\frac {3}{4}}{\sqrt {2}}}$, ${\displaystyle r_{i,3}={\frac {1}{3}}{\sqrt {6}}}$ și ${\displaystyle r_{i,4}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}}$.

Dacă ${\displaystyle P}$ este un vârf de tip ${\displaystyle p}$ al lui ${\displaystyle {\bf {C}}}$, ${\displaystyle e}$ este o muchie a lui ${\displaystyle {\bf {C}}}$ care pornește din ${\displaystyle P}$, și ${\displaystyle P^{\prime }}$ punctul unde muchia ${\displaystyle e}$ atinge sfera mediană a lui ${\displaystyle {\bf {C}}}$, se notează distanța ${\displaystyle PP^{\prime }}$ cu ${\displaystyle l_{p}}$. Atunci muchiile lui ${\displaystyle {\bf {C}}}$ care unesc vârfurile de tip ${\displaystyle p}$ și ${\displaystyle q}$ au lungimile ${\displaystyle l_{p,q}=l_{p}+l_{q}}$. Aceste valori pot fi calculate din

${\displaystyle l_{p}={\frac {l}{2}}{\frac {\cos(\pi /p)}{\sin(\alpha _{p}/2)}}}$,

și similar pentru ${\displaystyle q,r,\ldots }$. Continuând exemplul: ${\displaystyle \sin(\alpha _{3}/2)={\frac {1}{3}}{\sqrt {6}}}$, ${\displaystyle \sin(\alpha _{4}/2)={\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}}$, ${\displaystyle l_{3}={\frac {1}{8}}{\sqrt {6}}}$, ${\displaystyle l_{4}={\frac {1}{4}}{\sqrt {6}}}$, deci muchiile dodecaedrului rombic au lungimea ${\displaystyle l_{3,4}={\frac {3}{8}}{\sqrt {6}}}$.

Unghiurile diedre ${\displaystyle \alpha _{p,q}}$ între fețele ${\displaystyle p}$-gonale și ${\displaystyle q}$-gonale ale lui ${\displaystyle {\bf {A}}}$ satisfac relația

${\displaystyle \cos \alpha _{p,q}={\frac {l^{2}}{4}}{\frac {\cot(\pi /p)\cot(\pi /q)}{r_{m}^{2}}}-{\frac {r_{i,p}r_{i,q}}{r_{m}^{2}}}={\frac {l_{p}l_{q}-r_{m}^{2}}{r_{c,p}r_{c,q}}}}$.

În finalul exemplului, unghiul diedru ${\displaystyle \alpha _{3,4}}$ al cuboctaedrului este dat de ${\displaystyle \cos \alpha _{3,4}=-{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}}$.

Toate formulele din această secțiune se aplică poliedrelor platonice, bipiramidelor și trapezoedrelor cu unghiuri diedre egale, de asemenea, deoarece ele pot fi deduse din proprietatea unghiului diedru constant. De exemplu, pentru trapezoedrul pentagonal cu fețele V3.3.5.3, se obține ${\displaystyle \cos(\alpha _{3})={\frac {1}{4}}-{\frac {1}{4}}{\sqrt {5}}}$, sau ${\displaystyle \alpha _{3}=108^{\circ }}$. Acest lucru nu este surprinzător: este posibil să fie tăiate ambele vârfuri în așa fel încât să se obțină un dodecaedru regulat.

• fr Eugène Catalan Mémoire sur la Théorie des Polyèdres. J. l'École Polytechnique (Paris) 41, 1-71, 1865
• en Alan Holden, Shapes, Space, and Symmetry. New York: Dover, 1991
• en Wenninger, Magnus (1983), Dual Models, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208  (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals)
• en Robert Williams, (1979), The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design, Dover Publications, Inc. ISBN: 0-486-23729-X, (Section 3–9)
• en Anthony Pugh (1976). Polyhedra: A visual approach. California: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7.  Chapter 4: Duals of the Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms

• Poliedru arhimedic
• Poliedru Johnson

Materiale media legate de poliedru Catalan la Wikimedia Commons

• en Eric W. Weisstein, Catalan Solids la MathWorld.
• en Eric W. Weisstein, Isohedron la MathWorld.
• en Catalan Solids – la Visual Polyhedra
• en Archimedean duals – at Virtual Reality Polyhedra
• fr Două legături pentru descărcarea lucrării originale a lui catalan din 1865 (format PDF)