線型代数学 におけるクラメルの法則 あるいはクラメルの公式 （クラメルのこうしき、英 : Cramer's rule 方程式 の本数が一致し、かつ一意的に解ける線型方程式 系の解を明示的に書き表す行列式公式である。これは、方程式の解を正方係数行列 とその各列ベクトル を一つずつ方程式の右辺のベクトルで置き換えて得られる行列の行列式 で表すものになっている。名称はガブリエル・クラーメル (1704–1752) に因むもので、クラーメルは任意個の未知数に関する法則を1750年 に記している[ 1] コリン・マクローリン が1748年 に公表[ 2] [ 3] [ 4] [ 5]
与えられた線型方程式 が n 個の変数を持ち、同数 n 本の一次方程式からなる形： { a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 , a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b 2 , ⋮ a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + ⋯ + a n n x n = b n {\displaystyle {\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1},\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2},\\\qquad \qquad \vdots \\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots +a_{nn}x_{n}=b_{n}\end{cases}}} A := [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ] , x := [ x 1 x 2 ⋮ x n ] , b := [ b 1 b 2 ⋮ b n ] {\displaystyle A:={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}},\quad x:={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}},\quad b:={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}} Ax = b A が正則 （可逆）であるものと仮定する。これは det(A ) ≠ 0 であることと同値。
これらの仮定の下、この方程式系は一意的に解くことができて、一意的な解 x の各成分 xi は x i = det ( A i ) det ( A ) {\displaystyle x_{i}={\frac {\det(A_{i})}{\det(A)}}} Ai は行列 A の第 i -列 (i = 1, 2, …, n b で置き換えて得られる行列 A i := [ a 1 , 1 ⋯ a 1 , i − 1 b 1 a 1 , i + 1 ⋯ a 1 , n a 2 , 1 ⋯ a 2 , i − 1 b 2 a 2 , i + 1 ⋯ a 2 , n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n , 1 ⋯ a n , i − 1 b n a n , i + 1 ⋯ a n , n ] {\displaystyle A_{i}:={\begin{bmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,i-1}&b_{1}&a_{1,i+1}&\cdots &a_{1,n}\\a_{2,1}&\cdots &a_{2,i-1}&b_{2}&a_{2,i+1}&\cdots &a_{2,n}\\\vdots &&\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{n,1}&\cdots &a_{n,i-1}&b_{n}&a_{n,i+1}&\cdots &a_{n,n}\end{bmatrix}}}
例えば、次の線型方程式系 { 1 x 1 + 2 x 2 = 3 4 x 1 + 5 x 2 = 6 {\displaystyle {\begin{cases}{\color {blue}1}\,x_{1}+{\color {blue}2}\,x_{2}={\color {OliveGreen}3}\\{\color {blue}4}\,x_{1}+{\color {blue}5}\,x_{2}={\color {OliveGreen}6}\end{cases}}} ( A ∣ b ) = [ 1 2 3 4 5 6 ] {\displaystyle ({\color {blue}A}\mid {\color {OliveGreen}b})=\left[{\begin{array}{cc|c}{\color {blue}1}&{\color {blue}2}&{\color {OliveGreen}3}\\{\color {blue}4}&{\color {blue}5}&{\color {OliveGreen}6}\end{array}}\right]} x 1 = det ( A 1 ) det ( A ) = | 3 2 6 5 | | 1 2 4 5 | = 3 − 3 = − 1 , x 2 = det ( A 2 ) det ( A ) = | 1 3 4 6 | | 1 2 4 5 | = − 6 − 3 = 2 {\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {\det(A_{1})}{\det(A)}}={\frac {\begin{vmatrix}\color {OliveGreen}{3}&\color {blue}{2}\\\color {OliveGreen}{6}&\color {blue}{5}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\color {blue}1}&{\color {blue}2}\\{\color {blue}4}&{\color {blue}5}\end{vmatrix}}}={\frac {3}{-3}}=-1,\\[10pt]x_{2}&={\frac {\det(A_{2})}{\det(A)}}={\frac {\begin{vmatrix}{\color {blue}1}&{\color {OliveGreen}3}\\{\color {blue}4}&{\color {OliveGreen}6}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\color {blue}1}&{\color {blue}2}\\{\color {blue}4}&{\color {blue}5}\end{vmatrix}}}={\frac {-6}{-3}}=2\end{aligned}}} 行列式 を表す標準的な記号法に従ったものである。
別な例として次の線型方程式系 { 82 x 1 + 45 x 2 + 9 x 3 = 1 27 x 1 + 16 x 2 + 3 x 3 = 1 9 x 1 + 5 x 2 + 1 x 3 = 0 {\displaystyle {\begin{cases}{\color {blue}82}\,x_{1}+{\color {blue}45}\,x_{2}+{\color {blue}9}\,x_{3}={\color {OliveGreen}1}\\{\color {blue}27}\,x_{1}+{\color {blue}16}\,x_{2}+{\color {blue}3}\,x_{3}={\color {OliveGreen}1}\\{\color {blue}9}\,x_{1}+{\color {blue}5}\,x_{2}+{\color {blue}1}\,x_{3}={\color {OliveGreen}0}\\\end{cases}}} 拡大係数行列 は ( A ∣ b ) = [ 82 45 9 1 27 16 3 1 9 5 1 0 ] {\displaystyle ({\color {blue}A}\mid {\color {OliveGreen}b})=\left[{\begin{array}{ccc|c}{\color {blue}82}&{\color {blue}45}&{\color {blue}9}&{\color {OliveGreen}1}\\{\color {blue}27}&{\color {blue}16}&{\color {blue}3}&{\color {OliveGreen}1}\\{\color {blue}9}&{\color {blue}5}&{\color {blue}1}&{\color {OliveGreen}0}\end{array}}\right]} x 1 = det ( A 1 ) det ( A ) = | 1 45 9 1 16 3 0 5 1 | | 82 45 9 27 16 3 9 5 1 | = 1 1 = 1 , x 2 = det ( A 2 ) det ( A ) = | 82 1 9 27 1 3 9 0 1 | | 82 45 9 27 16 3 9 5 1 | = 1 1 = 1 , x 3 = det ( A 3 ) det ( A ) = | 82 45 1 27 16 1 9 5 0 | | 82 45 9 27 16 3 9 5 1 | = − 14 1 = − 14 {\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {\det(A_{1})}{\det(A)}}={\tfrac {\begin{vmatrix}\color {OliveGreen}{1}&\color {blue}{45}&\color {blue}{9}\\\color {OliveGreen}{1}&\color {blue}{16}&\color {blue}{3}\\\color {OliveGreen}{0}&\color {blue}{5}&\color {blue}{1}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\color {blue}{82}&\color {blue}{45}&\color {blue}{9}\\\color {blue}{27}&\color {blue}{16}&\color {blue}{3}\\\color {blue}{9}&\color {blue}{5}&\color {blue}{1}\end{vmatrix}}}={\frac {1}{1}}=1,\\[10pt]x_{2}&={\frac {\det(A_{2})}{\det(A)}}={\tfrac {\begin{vmatrix}\color {blue}{82}&\color {OliveGreen}{1}&\color {blue}{9}\\\color {blue}{27}&\color {OliveGreen}{1}&\color {blue}{3}\\\color {blue}{9}&\color {OliveGreen}{0}&\color {blue}{1}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\color {blue}{82}&\color {blue}{45}&\color {blue}{9}\\\color {blue}{27}&\color {blue}{16}&\color {blue}{3}\\\color {blue}{9}&\color {blue}{5}&\color {blue}{1}\end{vmatrix}}}={\frac {1}{1}}=1,\\[10pt]x_{3}&={\frac {\det(A_{3})}{\det(A)}}={\tfrac {\begin{vmatrix}\color {blue}{82}&\color {blue}{45}&\color {OliveGreen}{1}\\\color {blue}{27}&\color {blue}{16}&\color {OliveGreen}{1}\\\color {blue}{9}&\color {blue}{5}&\color {OliveGreen}{0}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\color {blue}{82}&\color {blue}{45}&\color {blue}{9}\\\color {blue}{27}&\color {blue}{16}&\color {blue}{3}\\\color {blue}{9}&\color {blue}{5}&\color {blue}{1}\end{vmatrix}}}={\frac {-14}{1}}=-14\end{aligned}}}
クラメルの法則は、ガブリエル・クラメルが1750年に出版した著書 «Introduction à l′analyse des lignes courbes algébriques» [ 1] 行列式に関するライプニッツの公式 と同じものである）
クラメルの公式 この例においてクラメルが現代的なものとは違う記法を用いていることが見て取れる。これは現代的な記法で言えば x 1 = b 1 a 22 a 33 − b 1 a 32 a 23 − b 2 a 12 a 33 + b 2 a 32 a 13 + b 3 a 12 a 23 − b 3 a 22 a 13 a 11 a 22 a 33 − a 11 a 32 a 23 − a 21 a 12 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 31 a 12 a 23 − a 31 a 22 a 13 {\displaystyle x_{1}={\frac {b_{1}a_{22}a_{33}-b_{1}a_{32}a_{23}-b_{2}a_{12}a_{33}+b_{2}a_{32}a_{13}+b_{3}a_{12}a_{23}-b_{3}a_{22}a_{13}}{a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{32}a_{23}-a_{21}a_{12}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{31}a_{12}a_{23}-a_{31}a_{22}a_{13}}}} [ 6] ベズー は1764年 に、一意的に解くことができない線型方程式系では、この式の分母が 0 になることを示す[ 6] 1815年 、コーシー の手によってである（今日用いられるクラメルの法則の記法を導入したのもコーシーである）。ライプニッツ は1678年 の手書きの論文において既にクラメルの法則を用いているが、しかしこれは後々まで発見されず、線型方程式系の解法の発展に影響を与えはしなかった[ 6] マクローリン は1748年 の著書“Treatise on Algebra”において、方程式が二本または三本であるような場合の線型方程式に対する、クラメルの法則の特別の場合を述べている。マクローリンも、これらの公式をより方程式の本数が多い一般の場合へ拡張するアイデアを持っていたが、クラメルと違って多項式の符号を正しく定める方法が分からなかった[ 7] 20世紀 になって、数学史家ボイヤー （英語版 ） [ 8]
クラメルの法則を利用して n 元線型方程式系を解こうとすれば、n + 1
クラメルの法則に現れる行列式をライプニッツの公式に従って計算すれば、(n − 1)·n ! 回の掛け算と n − 1 回の足し算をすることになる。これは4本の方程式を持つ系の場合でも、360回の掛け算、4回の割り算、115回の足し算をすることを意味する。これは他の方法に比べて極めて多くの計算を要する。行列式の計算により効率的なアルゴリズムを用いたとしても、線型方程式をクラメルの法則で解こうとすれば、ガウス消去法 などよりもずっと大きな計算量が必要になる。
n 元一次連立方程式に対して、毎秒 108 回浮動小数点演算可能 (100 Mflops) な性能の計算機で計算すると、計算時間は次の表のようになる[ 9]
n 10 12 14 16 18 20 計算時間 0.4秒 1分 3.6時間 41日 38年 16,000年
証明のために、単位行列の第 i -列を方程式 Ax = b x に置き換えて得られる行列 Xi を考える。例えば n = 4X 2 X 2 = [ 1 x 1 0 0 0 x 2 0 0 0 x 3 1 0 0 x 4 0 1 ] {\displaystyle X_{2}={\begin{bmatrix}1&x_{1}&0&0\\0&x_{2}&0&0\\0&x_{3}&1&0\\0&x_{4}&0&1\end{bmatrix}}} AXi = Ai det(Xi ) = xi となることが示せる。実際、いま挙げた例では A ⋅ X 2 = [ a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 ] ⋅ [ 1 x 1 0 0 0 x 2 0 0 0 x 3 1 0 0 x 4 0 1 ] = [ a 11 a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + a 14 x 4 a 13 a 14 a 21 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + a 24 x 4 a 23 a 24 a 31 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 + a 34 x 4 a 33 a 34 a 41 a 41 x 1 + a 42 x 2 + a 43 x 3 + a 44 x 4 a 43 a 44 ] = [ a 11 b 1 a 13 a 14 a 21 b 2 a 23 a 24 a 31 b 3 a 33 a 34 a 41 b 4 a 43 a 44 ] = A 2 {\displaystyle {\begin{aligned}A\cdot X_{2}&={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&x_{1}&0&0\\0&x_{2}&0&0\\0&x_{3}&1&0\\0&x_{4}&0&1\end{bmatrix}}\\[10pt]&={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}+a_{14}x_{4}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}+a_{24}x_{4}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}+a_{34}x_{4}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{41}x_{1}+a_{42}x_{2}+a_{43}x_{3}+a_{44}x_{4}&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix}}\\[10pt]&={\begin{bmatrix}a_{11}&b_{1}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&b_{2}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&b_{3}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&b_{4}&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix}}\\[10pt]&=A_{2}\end{aligned}}} det ( A ) ⋅ det ( X i ) = det ( A i ) det ( A ) ⋅ x i = det ( A i ) x i = det ( A i ) ⋅ det ( A ) − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\det(A)\cdot \det(X_{i})&=\det(A_{i})\\\det(A)\cdot x_{i}&=\det(A_{i})\\x_{i}&=\det(A_{i})\cdot \det(A)^{-1}\end{aligned}}} det(A ) ≠ 0 ゆえ det(A )−1 が存在することに注意。
証明の内容を省みれば、クラメルの法則の成立は以下の定理
正方線型方程式系 Ax = b x = (x 1 , x 2 , …, xn )i について det(A )xi = det(Ai ) が成り立つ。 に集約されることがわかる。もちろん行列 Ai は行列 A の第 i -列を系の右辺である b で置き換えて得られる行列である。方程式の解が一意であるという仮定を外せば、割り算を実行することができないことも起こり得るが、いま述べた形の定理であれば、方程式系の係数が可換環 に値をとる場合も含めて常に成立する[ 10]
行列 A の逆行列 は単位行列の各列ベクトル ej に対して、線型方程式系 Axj = ej 余因子行列 adj(A ) を用いて公式 A − 1 = 1 det ( A ) adj ( A ) {\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}\operatorname {adj} (A)} R 体 とは限らない可換環 R に値をとるとしても成り立つ。従って、行列 A が可逆となることと det(A ) が（R において）可逆 （単元 ）となることとが同値であることもわかる。R が体であるときは、この条件は det(A ) ≠ 0 と同じである。
クラメルの法則を使えば、det(A ) ≠ 0 のとき斉次方程式系が自明な解 x 1 = x 2 = ⋯ = xn = 0i について A の第 i -列を零ベクトルで置き換えて得られる行列 Ai は、列ベクトルの全体がもはや線型独立 ではなく、従って det(Ai ) = 0 が成り立つ。これにより xi = 0
上記性質により、線型方程式系 Ax = b (det(A ) ≠ 0)
線型方程式系 { a x + b y = e c x + d y = f {\displaystyle {\begin{cases}ax+by={\color {red}e}\\cx+dy={\color {red}f}\end{cases}}} [ a b c d ] [ x y ] = [ e f ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\ {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}e}\\{\color {red}f}\end{bmatrix}}} ad − bc ≠ 0x および y はクラメルの法則で計算できて x = | e b f d | | a b c d | = e d − b f a d − b c , y = | a e c f | | a b c d | = a f − e c a d − b c {\displaystyle {\begin{aligned}x={\tfrac {{\begin{vmatrix}\color {red}{e}&b\\\color {red}{f}&d\end{vmatrix}}\ }{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={{\color {red}e}d-b{\color {red}f} \over ad-bc},\\[8pt]y={\tfrac {{\begin{vmatrix}a&\color {red}{e}\\c&\color {red}{f}\end{vmatrix}}\ }{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={a{\color {red}f}-{\color {red}e}c \over ad-bc}\end{aligned}}} { a x + b y + c z = j d x + e y + f z = k g x + h y + i z = l {\displaystyle {\begin{cases}ax+by+cz={\color {red}j}\\dx+ey+fz={\color {red}k}\\gx+hy+iz={\color {red}l}\end{cases}}} [ a b c d e f g h i ] [ x y z ] = [ j k l ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}\ {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}j}\\{\color {red}k}\\{\color {red}l}\end{bmatrix}}} x , y , z は x = | j b c k e f l h i | | a b c d e f g h i | , y = | a j c d k f g l i | | a b c d e f g h i | , z = | a b j d e k g h l | | a b c d e f g h i | {\displaystyle x={\tfrac {\begin{vmatrix}{\color {red}j}&b&c\\{\color {red}k}&e&f\\{\color {red}l}&h&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}},\quad y={\tfrac {\begin{vmatrix}a&{\color {red}j}&c\\d&{\color {red}k}&f\\g&{\color {red}l}&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}},\quad z={\tfrac {\begin{vmatrix}a&b&{\color {red}j}\\d&e&{\color {red}k}\\g&h&{\color {red}l}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}}
クラメルの法則は微分幾何学 における問題を解くのにもきわめて有効である。二つの方程式 F (x , y , u , v ) = 0G (x , y , u , v ) = 0u と v とが独立変数のとき、x = X (u , v )y = Y (u , v )
∂x ⁄∂u
まず F , G , x , y d F = ∂ F ∂ x d x + ∂ F ∂ y d y + ∂ F ∂ u d u + ∂ F ∂ v d v = 0 , d G = ∂ G ∂ x d x + ∂ G ∂ y d y + ∂ G ∂ u d u + ∂ G ∂ v d v = 0 , d x = ∂ X ∂ u d u + ∂ X ∂ v d v , d y = ∂ Y ∂ u d u + ∂ Y ∂ v d v . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} F&={\frac {\partial F}{\partial x}}\mathrm {d} x+{\frac {\partial F}{\partial y}}\mathrm {d} y+{\frac {\partial F}{\partial u}}\mathrm {d} u+{\frac {\partial F}{\partial v}}\mathrm {d} v=0,\\\mathrm {d} G&={\frac {\partial G}{\partial x}}\mathrm {d} x+{\frac {\partial G}{\partial y}}\mathrm {d} y+{\frac {\partial G}{\partial u}}\mathrm {d} u+{\frac {\partial G}{\partial v}}\mathrm {d} v=0,\\\mathrm {d} x&={\frac {\partial X}{\partial u}}\mathrm {d} u+{\frac {\partial X}{\partial v}}\mathrm {d} v,\\\mathrm {d} y&={\frac {\partial Y}{\partial u}}\mathrm {d} u+{\frac {\partial Y}{\partial v}}\mathrm {d} v.\end{aligned}}} dx , dy を dF , dG に代入して d F = ( ∂ F ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ F ∂ y ∂ y ∂ u + ∂ F ∂ u ) d u + ( ∂ F ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ F ∂ y ∂ y ∂ v + ∂ F ∂ v ) d v = 0 , d G = ( ∂ G ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ G ∂ y ∂ y ∂ u + ∂ G ∂ u ) d u + ( ∂ G ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ G ∂ y ∂ y ∂ v + ∂ G ∂ v ) d v = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} F&=\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial u}}\right)\mathrm {d} u+\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial v}}\right)\mathrm {d} v=0,\\[5pt]\mathrm {d} G&=\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial u}}\right)\mathrm {d} u+\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial v}}\right)\mathrm {d} v=0\end{aligned}}} u, v は独立変数だから du , dv の係数は 0 でなければならない。故に係数に関する方程式を立てれば、 { ∂ F ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ F ∂ y ∂ y ∂ u = − ∂ F ∂ u ∂ G ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ G ∂ y ∂ y ∂ u = − ∂ G ∂ u ∂ F ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ F ∂ y ∂ y ∂ v = − ∂ F ∂ v ∂ G ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ G ∂ y ∂ y ∂ v = − ∂ G ∂ v {\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial F}{\partial x}}{\dfrac {\partial x}{\partial u}}+{\dfrac {\partial F}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial u}}=-{\dfrac {\partial F}{\partial u}}\\[10pt]{\dfrac {\partial G}{\partial x}}{\dfrac {\partial x}{\partial u}}+{\dfrac {\partial G}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial u}}=-{\dfrac {\partial G}{\partial u}}\\[10pt]{\dfrac {\partial F}{\partial x}}{\dfrac {\partial x}{\partial v}}+{\dfrac {\partial F}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial v}}=-{\dfrac {\partial F}{\partial v}}\\[10pt]{\dfrac {\partial G}{\partial x}}{\dfrac {\partial x}{\partial v}}+{\dfrac {\partial G}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial v}}=-{\dfrac {\partial G}{\partial v}}\end{cases}}} ∂ x ∂ u = | − ∂ F ∂ u ∂ F ∂ y − ∂ G ∂ u ∂ G ∂ y | | ∂ F ∂ x ∂ F ∂ y ∂ G ∂ x ∂ G ∂ y | {\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial u}}={\frac {\begin{vmatrix}-{\frac {\partial F}{\partial u}}&{\frac {\partial F}{\partial y}}\\-{\frac {\partial G}{\partial u}}&{\frac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\frac {\partial F}{\partial x}}&{\frac {\partial F}{\partial y}}\\{\frac {\partial G}{\partial x}}&{\frac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}}} 函数行列式 ∂ x ∂ u = − ( ∂ ( F , G ) ∂ ( u , y ) ) ( ∂ ( F , G ) ∂ ( x , y ) ) {\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial u}}=-{\frac {\left({\frac {\partial (F,G)}{\partial (u,y)}}\right)}{\left({\frac {\partial (F,G)}{\partial (x,y)}}\right)}}} ∂x ⁄∂v ∂y ⁄∂u ∂y ⁄∂v
クラメルの法則は、制約行列が完全単模 (totally unimodular) で、右辺値が整数、基本解も整数であるような整数計画 問題を解くのにも利用できる。これにより整数問題を解くことが大幅に容易になる。
クラメルの法則は非斉次の線型微分方程式の一般解を定数変化法 で導く場合にも利用できる。
クラメルの法則の幾何学的解釈： 二つ目と三つ目の影を付けた平行四辺形 の面積は等しく、一つ目のそれの x 1 -倍である。この等値性はクラメルの法則から従う。 クラメルの法則を幾何学的に解釈することもできて、それは証明や幾何学的な性質を詳しく見ることによって得られる。この幾何学的な論法は、以下に例示する二次元の場合のみならず、一般の場合においても通用する。
方程式系 a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 {\displaystyle {\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}&=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}&=b_{2}\end{matrix}}} x 1 [ a 11 a 21 ] + x 2 [ a 12 a 22 ] = [ b 1 b 2 ] {\displaystyle x_{1}{\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\end{bmatrix}}+x_{2}{\begin{bmatrix}a_{12}\\a_{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{bmatrix}}} t a 1 1 , a 2 1 )t a 1 2 , a 2 2 ) | a 11 a 12 a 21 a 22 | {\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}} n の n 本のベクトルを考えるとき、その行列式は n -次元ユークリッド空間 においてそれらのベクトルが張る平行体 (parallelepiped ) の容積 (volume ) を与える。
従って、x 1 ⋅t a 1 1 , a 2 1 )t a 1 2 , a 2 2 )x 1 カヴァリエリの原理 により、 x 1 ⋅t a 11 , a 2 1 ) + x 2 ⋅t a 1 2 , a 2 2 )t a 1 2 , a 2 2 )
最後とその前の平行四辺形の面積が等しいことは方程式 | b 1 a 12 b 2 a 22 | = | a 11 x 1 a 12 a 21 x 1 a 22 | = x 1 | a 11 a 12 a 21 a 22 | {\displaystyle {\begin{vmatrix}b_{1}&a_{12}\\b_{2}&a_{22}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{11}x_{1}&a_{12}\\a_{21}x_{1}&a_{22}\end{vmatrix}}=x_{1}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}}
方程式系が、不能 (incompatible) であるとは解が存在しないことを言う。また不定 (indeterminate) であるとは、二つ以上の解を持つことを言う。線型方程式の場合（基礎体が無限体であるとすると）、それが不定な系ならば一つ以上の変数が任意の値を取り得るから、解は無数に存在する。
クラメルの法則は係数行列の行列式が 0 でない場合にしか適用できないから、2 × 2 の系で行列式の値に基づく不能や不定の場合とは相容れない。
3 × 3 あるいはより高次の系に対して、係数行列の行列式が 0 のときに言えるのは
（クラメルの公式の）分子になっている行列式のどれか一つでも 0 でないならば、系は不能である。 ということだけである。逆は正しくなく、系が不能であっても全ての行列式が 0 になる場合がある。例えば x + y + z = 1, x + y + z = 2, x + y + z = 3
^ a b Cramer, Gabriel (1750) (French), Introduction à l'Analyse des lignes Courbes algébriques , http://www.europeana.eu/resolve/record/03486/E71FE3799CEC1F8E2B76962513829D2E36B63015 2012年5月18日 閲覧。 ^ MacLaurin, Colin (1748). A Treatise of Algebra, in Three Parts. . https://archive.org/details/atreatisealgebr03maclgoog ^ Boyer, Carl B. (1968). A History of Mathematics (2nd ed.). Wiley. pp. 431 ^ Katz, Victor (2004). A History of Mathematics (Brief ed.). Pearson Education. pp. 378–379 ^ Hedman, Bruce A. (1999), “An Earlier Date for "Cramer's Rule"”, Historia Mathematica 4(26) : 365–368, doi :10.1006/hmat.1999.2247 ^ a b c Jean-Luc Chabert et al.. A History of Algorithms. Form of the Pebble to the Microchip. Springer-Verlag, 1999, ISBN 3-540-63369-3 , pp. 284–287. （クラメルのオリジナルの本の英語訳も載っている） ^ Antoni A. Kosinski: Cramer's Rule Is Due to cramer. In: Mathematics Magazine. Bd. 74, Nr. 4, Oktober 2001, S. 310–312. ^ Bruce A. Hedman: An Earlier Date for „Cramer's Rule“ In: Historica Mathematica. Bd. 24, 1999, S. 365–368. ^ W. Dahmen, A. Reusken: Numerik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Springer, 2006, ISBN 3-540-25544-3 ^ Serge Lang : Algebra. 2. Auflage. Addison-Wesley, 1984, ISBN 0-201-05487-6 , S. 451. 
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![{\displaystyle ({\color {blue}A}\mid {\color {OliveGreen}b})=\left[{\begin{array}{cc|c}{\color {blue}1}&{\color {blue}2}&{\color {OliveGreen}3}\\{\color {blue}4}&{\color {blue}5}&{\color {OliveGreen}6}\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a906a68e47674952c857b8b9d02ddb2a728749aa)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {\det(A_{1})}{\det(A)}}={\frac {\begin{vmatrix}\color {OliveGreen}{3}&\color {blue}{2}\\\color {OliveGreen}{6}&\color {blue}{5}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\color {blue}1}&{\color {blue}2}\\{\color {blue}4}&{\color {blue}5}\end{vmatrix}}}={\frac {3}{-3}}=-1,\\[10pt]x_{2}&={\frac {\det(A_{2})}{\det(A)}}={\frac {\begin{vmatrix}{\color {blue}1}&{\color {OliveGreen}3}\\{\color {blue}4}&{\color {OliveGreen}6}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\color {blue}1}&{\color {blue}2}\\{\color {blue}4}&{\color {blue}5}\end{vmatrix}}}={\frac {-6}{-3}}=2\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0d8ca5ba2398988d5baddde2acad1b4c3cc122d)
![{\displaystyle ({\color {blue}A}\mid {\color {OliveGreen}b})=\left[{\begin{array}{ccc|c}{\color {blue}82}&{\color {blue}45}&{\color {blue}9}&{\color {OliveGreen}1}\\{\color {blue}27}&{\color {blue}16}&{\color {blue}3}&{\color {OliveGreen}1}\\{\color {blue}9}&{\color {blue}5}&{\color {blue}1}&{\color {OliveGreen}0}\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/067b8cb59eb134e406ed924fb8e6a02b2c5f959b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {\det(A_{1})}{\det(A)}}={\tfrac {\begin{vmatrix}\color {OliveGreen}{1}&\color {blue}{45}&\color {blue}{9}\\\color {OliveGreen}{1}&\color {blue}{16}&\color {blue}{3}\\\color {OliveGreen}{0}&\color {blue}{5}&\color {blue}{1}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\color {blue}{82}&\color {blue}{45}&\color {blue}{9}\\\color {blue}{27}&\color {blue}{16}&\color {blue}{3}\\\color {blue}{9}&\color {blue}{5}&\color {blue}{1}\end{vmatrix}}}={\frac {1}{1}}=1,\\[10pt]x_{2}&={\frac {\det(A_{2})}{\det(A)}}={\tfrac {\begin{vmatrix}\color {blue}{82}&\color {OliveGreen}{1}&\color {blue}{9}\\\color {blue}{27}&\color {OliveGreen}{1}&\color {blue}{3}\\\color {blue}{9}&\color {OliveGreen}{0}&\color {blue}{1}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\color {blue}{82}&\color {blue}{45}&\color {blue}{9}\\\color {blue}{27}&\color {blue}{16}&\color {blue}{3}\\\color {blue}{9}&\color {blue}{5}&\color {blue}{1}\end{vmatrix}}}={\frac {1}{1}}=1,\\[10pt]x_{3}&={\frac {\det(A_{3})}{\det(A)}}={\tfrac {\begin{vmatrix}\color {blue}{82}&\color {blue}{45}&\color {OliveGreen}{1}\\\color {blue}{27}&\color {blue}{16}&\color {OliveGreen}{1}\\\color {blue}{9}&\color {blue}{5}&\color {OliveGreen}{0}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\color {blue}{82}&\color {blue}{45}&\color {blue}{9}\\\color {blue}{27}&\color {blue}{16}&\color {blue}{3}\\\color {blue}{9}&\color {blue}{5}&\color {blue}{1}\end{vmatrix}}}={\frac {-14}{1}}=-14\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40883efbd8aaecc181ba1e309dd3f594a694d147)
![{\displaystyle {\begin{aligned}A\cdot X_{2}&={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&x_{1}&0&0\\0&x_{2}&0&0\\0&x_{3}&1&0\\0&x_{4}&0&1\end{bmatrix}}\\[10pt]&={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}+a_{14}x_{4}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}+a_{24}x_{4}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}+a_{34}x_{4}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{41}x_{1}+a_{42}x_{2}+a_{43}x_{3}+a_{44}x_{4}&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix}}\\[10pt]&={\begin{bmatrix}a_{11}&b_{1}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&b_{2}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&b_{3}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&b_{4}&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix}}\\[10pt]&=A_{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b4529fa50a6d1550e8dfa1e4f75c961d99ce5f3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x={\tfrac {{\begin{vmatrix}\color {red}{e}&b\\\color {red}{f}&d\end{vmatrix}}\ }{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={{\color {red}e}d-b{\color {red}f} \over ad-bc},\\[8pt]y={\tfrac {{\begin{vmatrix}a&\color {red}{e}\\c&\color {red}{f}\end{vmatrix}}\ }{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={a{\color {red}f}-{\color {red}e}c \over ad-bc}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ecaf5032840cc9b98f8f480492d001656153741)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} F&=\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial u}}\right)\mathrm {d} u+\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial v}}\right)\mathrm {d} v=0,\\[5pt]\mathrm {d} G&=\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial u}}\right)\mathrm {d} u+\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial v}}\right)\mathrm {d} v=0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a3250c6c37737ab3762bc0d97e905d74caaf450)
![{\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial F}{\partial x}}{\dfrac {\partial x}{\partial u}}+{\dfrac {\partial F}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial u}}=-{\dfrac {\partial F}{\partial u}}\\[10pt]{\dfrac {\partial G}{\partial x}}{\dfrac {\partial x}{\partial u}}+{\dfrac {\partial G}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial u}}=-{\dfrac {\partial G}{\partial u}}\\[10pt]{\dfrac {\partial F}{\partial x}}{\dfrac {\partial x}{\partial v}}+{\dfrac {\partial F}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial v}}=-{\dfrac {\partial F}{\partial v}}\\[10pt]{\dfrac {\partial G}{\partial x}}{\dfrac {\partial x}{\partial v}}+{\dfrac {\partial G}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial v}}=-{\dfrac {\partial G}{\partial v}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6e6c108f148c143bc14a8c544d3c5a9a1a32beb)
