コーシー・ビネの公式

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「ビネ・コーシーの恒等式」とは異なります。

代数学におけるコーシー・ビネの公式（こーしー・びねのこうしき、英: Cauchy–Binet formula）、あるいは、コーシー・ビネの定理、コーシー・ビネの展開とは、ジャック・フィリップ・マリー・ビネおよびオーギュスタン＝ルイ・コーシーに由来する恒等式で、2つの行列の積から作られる正方行列の行列式は、元の行列から取り出せる最大の小行列式の積の和に等しいというものであり^[1]、行列の成分が実数や複素数などの可換環において成立する。

n を自然数とし、集合 {1, …, n} を [n] と表記する。m を非負整数として、A を m × n行列、B を n × m行列とする。S を要素数 (|S| = )m の [n] の部分集合とする。A_S を、A の n個の列から S に含まれる添字の列を取り出して得られた m次正方行列、B^S を、B の n個の行から S に含まれる添字の行を取り出して得られた m次正方行列とする。

このとき積 AB は m × m行列となり、その行列式は

${\displaystyle \det(AB)=\textstyle \sum \limits _{\scriptstyle S\subset [n] \atop \scriptstyle |S|=m}\det(A_{S})\det(B^{S})}$ 

となる。ただし、総和について、S は、[n] の部分集合で要素数が m のものすべてを取るとする。なお、m > n の場合は右辺は 0 である。

${\displaystyle A:={\begin{pmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,m}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&\cdots &a_{m,m}&\cdots &a_{m,n}\end{pmatrix}},\quad B:={\begin{pmatrix}b_{1,1}&\cdots &b_{1,m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m,1}&\cdots &b_{m,m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n,1}&\cdots &b_{n,m}\end{pmatrix}}}$

と成分表示すると、公式は

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{vmatrix}\sum \limits _{k=1}^{n}a_{1,k}b_{k,1}&\cdots &\sum \limits _{k=1}^{n}a_{1,k}b_{k,m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\sum \limits _{k=1}^{n}a_{m,k}b_{k,1}&\cdots &\sum \limits _{k=1}^{n}a_{m,k}b_{k,m}\end{vmatrix}}&=\textstyle \sum \limits _{1\leq k_{1}<\cdots <k_{m}\leq n}{\begin{vmatrix}a_{1,k_{1}}&\cdots &a_{1,k_{m}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,k_{1}}&\cdots &a_{m,k_{m}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}b_{k_{1},1}&\cdots &b_{k_{1},m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{k_{m},1}&\cdots &b_{k_{m},m}\end{vmatrix}}\end{aligned}}}$

と表現できる。ただし、右辺の総和は、1 ≤ k₁ < … < k_m ≤ n を満たす整数の組 (k₁, k₂, …, k_m) の全てに対して取るとする。なお、m > n の場合は右辺は 0 である。

記法

${\displaystyle A{\begin{pmatrix}i_{1}&\cdots &i_{l}\\j_{1}&\cdots &j_{l}\end{pmatrix}}\equiv {\begin{vmatrix}a_{i_{1},j_{1}}&\cdots &a_{i_{1},j_{l}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i_{l},j_{1}}&\cdots &a_{i_{l},j_{l}}\end{vmatrix}}}$

を使えば

${\displaystyle (AB){\begin{pmatrix}1&\cdots &m\\1&\cdots &m\end{pmatrix}}=\textstyle \sum \limits _{1\leq k_{1}<\cdots <k_{m}\leq n}A{\begin{pmatrix}1&\cdots &m\\k_{1}&\cdots &k_{m}\end{pmatrix}}B{\begin{pmatrix}k_{1}&\cdots &k_{m}\\1&\cdots &m\end{pmatrix}}}$ 

となる。ただし、右辺の総和は、1 ≤ k₁ < … < k_m ≤ n を満たす整数の組 (k₁, k₂, …, k_m) の全てに対して和を取るとする。なお、m > n の場合は右辺は 0 である。

行列式の多重線型性により

${\displaystyle {\begin{aligned}\det(AB)&={\begin{vmatrix}\sum \limits _{p_{1}=1}^{n}a_{1,p_{1}}b_{p_{1},1}&\cdots &\sum \limits _{p_{m}=1}^{n}a_{1,p_{m}}b_{p_{m},m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\sum \limits _{p_{1}=1}^{n}a_{m,p_{1}}b_{p_{1},1}&\cdots &\sum \limits _{p_{m}=1}^{n}a_{m,p_{m}}b_{p_{m},m}\end{vmatrix}}\\&=\textstyle \sum \limits _{p_{1}=1}^{n}\cdots \sum \limits _{p_{m}=1}^{n}{\begin{vmatrix}a_{1,p_{1}}&\cdots &a_{1,p_{m}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,p_{1}}&\cdots &a_{m,p_{m}}\end{vmatrix}}\,b_{p_{1},1}\cdots b_{p_{m},m}\\&=\textstyle \sum \limits _{p:[m]\to [n]}A{\begin{pmatrix}1&\cdots &m\\p(1)&\cdots &p(m)\end{pmatrix}}b_{p(1),1}\cdots b_{p(m),m}\end{aligned}}}$

が導かれる。最後の式の p は {1, …, m} から {1, …, n} への写像である。

行列式の反対称性により p が単射の場合のみ行列式は非零なので、p(i) = k(π(i)) と置き換えられる。ここで、置換 π : [m] → [m] は m次対称群 ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{m}}$ の元であり、k : [m] → [n] は i < j ⇒ k(i) < k(j) を満たす関数である。これより

${\displaystyle {\begin{aligned}\det(AB)&=\textstyle \sum \limits _{\scriptstyle \pi \in {\mathfrak {S}}_{m}}\sum \limits _{k:[m]\to [n] \atop \scriptstyle i<j\Rightarrow k(i)<k(j)}A{\begin{pmatrix}1&\cdots &m\\k(\pi (1))&\cdots &k(\pi (m))\end{pmatrix}}b_{k(\pi (1)),1}\cdots b_{k(\pi (m)),m}\\&=\textstyle \sum \limits _{\scriptstyle \pi \in {\mathfrak {S}}_{m}}\sum \limits _{k:[m]\to [n] \atop \scriptstyle i<j\Rightarrow k(i)<k(j)}\operatorname {sgn}(\pi )~A{\begin{pmatrix}1&\cdots &m\\k(1)&\cdots &k(m)\end{pmatrix}}b_{k(\pi (1)),1}\cdots b_{k(\pi (m)),m}\\&=\textstyle \sum \limits _{\scriptstyle k:[m]\to [n] \atop \scriptstyle i<j\Rightarrow k(i)<k(j)}A{\begin{pmatrix}1&\cdots &m\\k(1)&\cdots &k(m)\end{pmatrix}}\sum \limits _{\pi \in {\mathfrak {S}}_{m}}\operatorname {sgn}(\pi )~b_{k(\pi (1)),1}\cdots b_{k(\pi (m)),m}\\&=\textstyle \sum \limits _{\scriptstyle k:[m]\to [n] \atop \scriptstyle i<j\Rightarrow k(i)<k(j)}A{\begin{pmatrix}1&\cdots &m\\k(1)&\cdots &k(m)\end{pmatrix}}B{\begin{pmatrix}k(1)&\cdots &k(m)\\1&\cdots &m\end{pmatrix}}\\&=\textstyle \sum \limits _{1\leq k_{1}<\cdots <k_{m}\leq n}A{\begin{pmatrix}1&\cdots &m\\k_{1}&\cdots &k_{m}\end{pmatrix}}B{\begin{pmatrix}k_{1}&\cdots &k_{m}\\1&\cdots &m\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

が成り立つ。なお、sgn(π) は置換 π の符号であり、行列式の反対称性

${\displaystyle A{\begin{pmatrix}1&\cdots &m\\k(\pi (1))&\cdots &k(\pi (m))\end{pmatrix}}=\operatorname {sgn}(\pi )~A{\begin{pmatrix}1&\cdots &m\\k(1)&\cdots &k(m)\end{pmatrix}}}$

および、

${\displaystyle B{\begin{pmatrix}k(1)&\cdots &k(m)\\1&\cdots &m\end{pmatrix}}=\textstyle \sum \limits _{\pi \in {\mathfrak {S}}_{m}}\operatorname {sgn}(\pi )~b_{k(\pi (1)),1}\cdots b_{k(\pi (m)),m}}$

を用いた。

コーシー・ビネの公式を具体例で確認してみる。

（例1）m = 1, n = 3 の場合として、行列 ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1&2\end{pmatrix}},B={\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}}}$ を考える。${\displaystyle AB={\begin{pmatrix}4\end{pmatrix}},\det(AB)=4}$である。

${\displaystyle S=\{1\},\{2\},\{3\}}$ であるから、

${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{\scriptstyle S\subset [n] \atop \scriptstyle |S|=m}\det(A_{S})\det(B^{S})=\det(1)\cdot \det(1)+\det(1)\cdot \det(3)+\det(2)\cdot \det(0)=4.}$

となる。

（例2）m = 2, n = 3 の場合として、行列 ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1&2\\3&1&-1\end{pmatrix}},B={\begin{pmatrix}1&1\\3&1\\0&2\end{pmatrix}}}$ を考える。${\displaystyle AB={\begin{pmatrix}4&6\\6&2\end{pmatrix}},\det(AB)={\begin{vmatrix}4&6\\6&2\end{vmatrix}}=-28}$ である。

${\displaystyle S=\{1,2\},\{2,3\},\{1,3\}}$ であるから、

${\displaystyle {\begin{aligned}&\textstyle \sum \limits _{\scriptstyle S\subset [n] \atop \scriptstyle |S|=m}\det(A_{S})\det(B^{S})={\begin{vmatrix}1&1\\3&1\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}1&1\\3&1\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}1&2\\1&-1\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}3&1\\0&2\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}1&2\\3&-1\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}1&1\\0&2\end{vmatrix}}\\&\qquad \qquad =(-2)\times (-2)+(-3)\times 6+(-7)\times 2=-28.\\\end{aligned}}}$

となる。

（例3）m = 3, n = 3 の場合として、行列 ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1&2\\3&1&-1\\1&-1&0\\\end{pmatrix}},B={\begin{pmatrix}1&1&0\\3&1&0\\0&2&1\end{pmatrix}}}$ を考える。${\displaystyle AB={\begin{pmatrix}4&6&2\\6&2&-1\\-2&0&0\end{pmatrix}},\det(AB)={\begin{vmatrix}4&6&2\\6&2&-1\\-2&0&0\end{vmatrix}}=20}$ である。

${\displaystyle S=\{1,2,3\}}$ であるから、

${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{\scriptstyle S\subset [n] \atop \scriptstyle |S|=m}\det(A_{S})\det(B^{S})={\begin{vmatrix}1&1&2\\3&1&-1\\1&-1&0\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&0\\3&1&0\\0&2&1\end{vmatrix}}=(-10)\times (-2)=20.}$

となる。

（例4）m = 4, n = 3 の場合として、行列 ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1&2\\3&1&-1\\1&-1&0\\1&0&0\end{pmatrix}},B={\begin{pmatrix}1&1&0&1\\3&1&0&0\\0&2&1&0\end{pmatrix}}}$ を考える。${\displaystyle AB={\begin{pmatrix}4&6&2&1\\6&2&-1&3\\-2&0&0&1\\1&1&0&1\end{pmatrix}},\det(AB)={\begin{vmatrix}4&6&2&1\\6&2&-1&3\\-2&0&0&1\\1&1&0&1\end{vmatrix}}=0}$ である。

${\displaystyle S}$ は存在しないから、

${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{\scriptstyle S\subset [n] \atop \scriptstyle |S|=m}\det(A_{S})\det(B^{S})=0.}$

となる。

${\displaystyle A\doteq {\begin{pmatrix}\delta _{1}^{i_{1}}&\cdots &\delta _{m}^{i_{1}}&\cdots &\delta _{n}^{i_{1}}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{1}^{i_{m}}&\cdots &\delta _{m}^{i_{m}}&\cdots &\delta _{n}^{i_{m}}\end{pmatrix}},\quad B\doteq {\begin{pmatrix}\delta _{j_{1}}^{1}&\cdots &\delta _{j_{m}}^{1}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{j_{1}}^{m}&\cdots &\delta _{j_{m}}^{m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{j_{1}}^{n}&\cdots &\delta _{j_{m}}^{n}\end{pmatrix}}\quad (i_{k}\in [n],j_{k}\in [n]\mathrm {~for~} k\in [m])}$

とする。ただし、δはクロネッカーのデルタ

${\displaystyle \delta _{\nu }^{\mu }={\begin{cases}1&\quad (\mu =\nu )\\0&\quad (\mu \neq \nu )\end{cases}}}$

である。 これをコーシー・ビネの公式に代入し、一般化されたクロネッカーのデルタ

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{j_{1}\cdots j_{m}}^{i_{1}\cdots i_{m}}&\equiv {\begin{vmatrix}\delta _{j_{1}}^{i_{1}}&\cdots &\delta _{j_{m}}^{i_{1}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{j_{1}}^{i_{m}}&\cdots &\delta _{j_{m}}^{i_{m}}\end{vmatrix}}\end{aligned}}}$

を使えば、

${\displaystyle \delta _{j_{1}\cdots j_{m}}^{i_{1}\cdots i_{m}}=\sum _{1\leq k_{1}<\cdots <k_{m}\leq n}\delta _{k_{1}\cdots k_{m}}^{i_{1}\cdots i_{m}}\delta _{j_{1}\cdots j_{m}}^{k_{1}\cdots k_{m}}\quad (i_{p}\in [n],j_{p}\in [n]\mathrm {~for~} p\in [m])}$ 

が得られる。逆にこの式からコーシー・ビネの公式を導くこともできる。

これは単位行列の基本的性質

${\displaystyle \delta _{j}^{i}=\sum _{k=1}^{n}\delta _{k}^{i}\delta _{j}^{k}\quad (i\in [n],j\in [n])}$

の一般化である。

m > n の場合、1 ≤ k₁ < … < k_m ≤ n となる整数の組 (k₁, k₂, …, k_m) は存在しないから、公式の右辺は 0 となる。このとき A, B の階数はこの場合高々 n だから、m × m 行列 AB の階数も高々 n (< m) であるので、公式の左辺 det(AB) は 0 となり、公式が成り立つ。

m = n のとき、A, B は正方行列である。1 ≤ k₁ < … < k_m ≤ n となる整数の組 (k₁, k₂, …, k_m) は [n] に等しいから、公式は

${\displaystyle (AB){\begin{pmatrix}1&\cdots &m\\1&\cdots &m\end{pmatrix}}=A{\begin{pmatrix}1&\cdots &m\\1&\cdots &n\end{pmatrix}}B{\begin{pmatrix}1&\cdots &n\\1&\cdots &m\end{pmatrix}}}$

すなわち det(AB) = det(A)det(B) となる。

m = 0 のとき、A, B そして AB は空行列（ただし、n > 0 なら行列の型は異なる）であり、空行列の行列式は定義により 1 だから、公式は 1 = 1 を述べているに過ぎない。

m = 1 のとき、公式は ${\displaystyle \det \textstyle \sum \limits _{j=1}^{n}A_{1,j}B_{j,1}=\sum \limits _{k=1}^{n}\det(A_{k}^{1})\det(B_{1}^{k})}$ となるが、1×1行列 A に対して det(A) = A だから、自明の式を述べているに過ぎない。

m = 2 は非自明な公式を与える最小の m であり、そのときの公式

${\displaystyle {\begin{vmatrix}\sum \limits _{k=1}^{n}a_{1,k}b_{k,1}&\sum \limits _{k=1}^{n}a_{1,k}b_{k,2}\\\sum \limits _{k=1}^{n}a_{2,k}b_{k,1}&\sum \limits _{k=1}^{n}a_{2,k}b_{k,2}\end{vmatrix}}=\textstyle \sum \limits _{1\leq k_{1}<k_{2}\leq n}{\begin{vmatrix}a_{1,k_{1}}&a_{1,k_{2}}\\a_{2,k_{1}}&a_{2,k_{2}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}b_{k_{1},1}&b_{k_{1},2}\\b_{k_{2},1}&b_{k_{2},2}\end{vmatrix}}}$ 

はビネ・コーシーの恒等式と呼ばれる。

${\displaystyle {\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {x}}}$ などは3次元ベクトルとする。 ${\displaystyle {\begin{aligned}1&=1&(m=0)\\{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {x}}&=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}&(m=1)\\{\begin{vmatrix}{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {y}}\\{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {y}}\end{vmatrix}}&={\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{3}&a_{1}\\b_{3}&b_{1}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{3}&y_{3}\\x_{1}&y_{1}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}\\&=({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\cdot ({\boldsymbol {x}}\times {\boldsymbol {y}})&(m=2)\\{\begin{vmatrix}{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {z}}\\{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {z}}\\{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {z}}\end{vmatrix}}&={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3}\end{vmatrix}}\\&=\{{\boldsymbol {a}}\cdot ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})\}\{{\boldsymbol {x}}\cdot ({\boldsymbol {y}}\times {\boldsymbol {z}})\}&(m=3)\\{\begin{vmatrix}{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {z}}&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {w}}\\{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {z}}&{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {w}}\\{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {z}}&{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {w}}\\{\boldsymbol {d}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {d}}\cdot {\boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {d}}\cdot {\boldsymbol {z}}&{\boldsymbol {d}}\cdot {\boldsymbol {w}}\end{vmatrix}}&=0&(m=4)\end{aligned}}}$

m > 3 の場合、右辺は常に0である。なお、

m = 2 の式はスカラー四重積に対するビネ・コーシーの恒等式、

m = 3 の式はスカラー三重積の積に対する公式

であり、m = 4 の式より四重積 (ベクトル解析) の公式：

${\displaystyle {\begin{aligned}~[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]{\boldsymbol {d}}&=[{\boldsymbol {d}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]{\boldsymbol {a}}+[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {d}},{\boldsymbol {c}}]{\boldsymbol {b}}+[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {d}}]{\boldsymbol {c}}\quad ([{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]={\boldsymbol {a}}\cdot ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}}))\end{aligned}}}$

が導かれる。

• 伊理正夫、韓太舜『線形代数 行列とその標準形』教育出版〈新しい応用の数学16〉、1977年6月。ISBN 4-316-37670-5。 
• Joel G. Broida & S. Gill Williamson (1989) A Comprehensive Introduction to Linear Algebra, §4.6 Cauchy- Binet theorem, pp.208-14, Addison-Wesley ISBN 0-201-50065-5.
• Jin Ho Kwak & Sungpyo Hong (2004) Linear Algebra 2nd edition, Example 2.15 Binet-Cauchy formula, pp.66,7, Birkhäuser ISBN 0-8176-4294-3.
• Igor R. Shafarevich & Alexey O. Remizov (2012) Linear Algebra and Geometry, §2.9 (p.68) & §10.5 (p. 377), Springer ISBN 978-3-642-30993-9.
• Aaron Lauve (2004) A short combinatoric proof of Cauchy–Binet formula from Université du Québec à Montréal.

• ビネ・コーシーの恒等式

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表 話 編 歴 線型代数学・行列解析
連立一次方程式	ガウスの消去法 クラメルの公式 ガウス＝ザイデル法 ヤコビ法
ベクトル	線型独立 線型結合 基底 双対基底
ベクトル空間	双対空間 核空間 固有空間 広義固有空間 線型包 行空間 列空間 次元
計量ベクトル空間	ドット積 コーシー＝シュワルツの不等式 直交 正規直交系 正規直交基底 グラム・シュミットの正規直交化法 直交補空間
行列・線型写像	演算・操作 乗法 転置 逆行列 サラスの方法 基本変形 対角化 分解 LU QR コレスキー シューア 特異値 固有値 不変量 行列式 跡 階数 固有値と固有ベクトル 固有多項式 最小多項式 単因子 階数標準形 スミス標準形 ジョルダン標準形 有理標準形 小行列式 クラス 正則 基本 対称 エルミート 正規 直交 回転 ユニタリ 冪零 射影 正定値 ユニモジュラー 置換 区分
行列式	余因子展開 余因子行列 ヴァンデルモンドの行列式 終結式 コーシー・ビネの公式
多重線型代数	外積 外積代数 対称代数 テンソル代数
数値線形代数	基本的な概念 浮動小数点 数値的安定性 疎行列 Z-行列 M行列 条件数 ゲルシュゴリンの定理 クリロフ部分空間 ソフトウェア MATLAB 数値解析ソフトの比較/一覧 ライブラリ Armadillo Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS) INTLAB Intel oneAPI Math Kernel Library LAPACK NumPy OpenBLAS 線型代数学ライブラリの比較 反復法・技法 SOR法 共役勾配法 GMRES法 固有値問題の数値解法 ランチョス法 QR法 べき乗法 逆べき乗法 ヤコビ法 (固有値問題) シュトラッセンのアルゴリズム ハウスホルダー変換 ギブンス回転 人物 ジェームズ・H・ウィルキンソン クリーブ・モラー ニコラス・ハイアム ジーン・ゴラブ リチャード・バルガ
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