正七十二角形 七十二角形(ななじゅうにかくけい、ななじゅうにかっけい、heptacontadigon)は、多角形の一つで、72本の辺と72個の頂点を持つ図形である。内角の和は12600°、対角線の本数は2484本である。
正七十二角形[編集]
正七十二角形においては、中心角と外角は5°で、内角は175°となる。一辺の長さが a の正七十二角形の面積 S は
![{\displaystyle S=18a^{2}\cot {\frac {\pi }{72}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf04605a6bc17aa0db662b5af935723581453305)
を平方根と立方根で表すと、
![{\displaystyle \sin {\frac {2\pi }{72}}={\frac {2-2{\sqrt {3}}\mathrm {i} }{2{\sqrt[{3}]{2({\sqrt {2}}-{\sqrt {6}})}}-2-{\sqrt {3}}}}-{\frac {(1+{\sqrt {3}}\mathrm {i} ){\sqrt[{3}]{2({\sqrt {2}}-{\sqrt {6}})}}-2-{\sqrt {3}}}{8}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/787683d2bee9313bb222ba0a8ad1b7e8967ad3f6)
- 関係式
![{\displaystyle {\begin{aligned}2\cos {\frac {2\pi }{72}}+2\cos {\frac {50\pi }{72}}+2\cos {\frac {46\pi }{72}}=0\\2\cos {\frac {14\pi }{72}}+2\cos {\frac {62\pi }{72}}+2\cos {\frac {34\pi }{72}}=0\\2\cos {\frac {10\pi }{72}}+2\cos {\frac {38\pi }{72}}+2\cos {\frac {58\pi }{72}}=0\\2\cos {\frac {70\pi }{72}}+2\cos {\frac {22\pi }{72}}+2\cos {\frac {26\pi }{72}}=0\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/211a2a729591045cdcaa0e1af078e09a49ae961e)
三次方程式の係数を求めると
![{\displaystyle {\begin{aligned}&2\cos {\frac {2\pi }{72}}\cdot 2\cos {\frac {50\pi }{72}}+2\cos {\frac {50\pi }{72}}\cdot 2\cos {\frac {46\pi }{72}}+2\cos {\frac {46\pi }{72}}\cdot 2\cos {\frac {2\pi }{72}}=-3\\&2\cos {\frac {2\pi }{72}}\cdot 2\cos {\frac {50\pi }{72}}\cdot 2\cos {\frac {46\pi }{72}}=2\cos {\frac {2\pi }{24}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c20beec3c7dd896c9014272a271722f1dcaf9af)
解と係数の関係より
![{\displaystyle u^{3}-3u-2\cos {\frac {2\pi }{24}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6def58b36f3b7c31ee335ec8947e1972cf8ab8d)
三次方程式を解いて、整理すると
が求められる。
![{\displaystyle {\begin{aligned}2\cos {\frac {2\pi }{72}}=&{\sqrt[{3}]{\cos {\frac {2\pi }{24}}+i\sin {\frac {2\pi }{24}}}}+{\sqrt[{3}]{\cos {\frac {2\pi }{24}}-i\sin {\frac {2\pi }{24}}}}\\4\cos {\frac {2\pi }{72}}=&{\sqrt[{3}]{8\cos {\frac {2\pi }{24}}+i8\sin {\frac {2\pi }{24}}}}+{\sqrt[{3}]{8\cos {\frac {2\pi }{24}}-i8\sin {\frac {2\pi }{24}}}}\\4\cos {\frac {2\pi }{72}}=&{\sqrt[{3}]{2({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})+i\cdot 2({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})}}+{\sqrt[{3}]{2({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})-i\cdot 2({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d44b39fab4a0b936c379d293731d546e4c1b6fc2)
![{\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{72}}={\frac {1}{4}}{\sqrt[{3}]{2({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})+i\cdot 2({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})}}+{\frac {1}{4}}{\sqrt[{3}]{2({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})-i\cdot 2({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e3be37c41ad2092f73d512271a5d7c6c6e5ce24)
正七十二角形の作図[編集]
正七十二角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。
正七十二角形は折紙により作図可能である。
関連項目[編集]
外部リンク[編集]
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非古典的 (2辺以下) | |
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辺の数: 3–10 | |
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辺の数: 11–20 | |
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辺の数: 21–30 | |
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辺の数: 31–40 | |
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辺の数: 41–50 | |
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辺の数: 51–70 (selected) | |
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辺の数: 71–100 (selected) | |
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辺の数: 101– (selected) | |
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無限 | |
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星型多角形 (辺の数: 5–12) | |
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多角形のクラス | |
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