二十六角形

二十六角形（にじゅうろくかくけい、にじゅうろっかっけい、icosihexagon）は、多角形の一つで、26本の辺と26個の頂点を持つ図形である。内角の和は4320°、対角線の本数は299本である。

正二十六角形においては、中心角と外角は13.846…°で、内角は166.153…°となる。一辺の長さが a の正二十六角形の面積 S は

${\displaystyle S={\frac {26}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{26}}\simeq 53.53232a^{2}}$

${\displaystyle \cos(2\pi /26)}$を平方根と立方根で表すと

${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{26}}=\cos {\frac {\pi }{13}}={\frac {1}{12}}{\sqrt {72+72\cdot \cos {\frac {2\pi }{13}}}}={\frac {1}{12}}{\sqrt {72+72\cdot {\frac {1}{12}}\left({\sqrt[{3}]{104-20{\sqrt {13}}+12{\sqrt {-39}}}}+{\sqrt[{3}]{104-20{\sqrt {13}}-12{\sqrt {-39}}}}+{\sqrt {13}}-1\right)}}=0.970941...}$

求め方

以下のようにα、βを置く

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha =&2\cos {\frac {2\pi }{26}}+2\cos {\frac {6\pi }{26}}+2\cos {\frac {18\pi }{26}}\\\beta =&2\cos {\frac {14\pi }{26}}+2\cos {\frac {10\pi }{26}}+2\cos {\frac {22\pi }{26}}\\\end{aligned}}}$

和と差の平方を求めると

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha +\beta =1\\\left(\alpha -\beta \right)^{2}=13\\\end{aligned}}}$

α-βを求めると（α > βより）

${\displaystyle \alpha -\beta ={\sqrt {13}}}$

よって

${\displaystyle {\begin{aligned}2\cos {\frac {2\pi }{26}}+2\cos {\frac {6\pi }{26}}+2\cos {\frac {18\pi }{26}}=&{\frac {1+{\sqrt {13}}}{2}}\\2\cos {\frac {14\pi }{26}}+2\cos {\frac {10\pi }{26}}+2\cos {\frac {22\pi }{26}}=&{\frac {1-{\sqrt {13}}}{2}}\\\end{aligned}}}$

一方

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(2\cos {\frac {2\pi }{26}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {6\pi }{26}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {18\pi }{26}}\right)^{3}=&2+2{\sqrt {13}}+6\cdot {\frac {-3-{\sqrt {13}}}{2}}+3\omega \cdot (2+{\sqrt {13}})+3\omega ^{2}\cdot (2)={\frac {-26-5{\sqrt {13}}+3{\sqrt {39}}i}{2}}\\\left(2\cos {\frac {2\pi }{26}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {6\pi }{26}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {18\pi }{26}}\right)^{3}=&2+2{\sqrt {13}}+6\cdot {\frac {-3-{\sqrt {13}}}{2}}+3\omega ^{2}\cdot (2+{\sqrt {13}})+3\omega \cdot (2)={\frac {-26-5{\sqrt {13}}-3{\sqrt {39}}i}{2}}\\\end{aligned}}}$

両辺の立方根を求めると

${\displaystyle {\begin{aligned}2\cos {\frac {2\pi }{26}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {6\pi }{26}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {18\pi }{26}}=&{\sqrt[{3}]{\frac {-26-5{\sqrt {13}}+3{\sqrt {39}}i}{2}}}\\2\cos {\frac {2\pi }{26}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {6\pi }{26}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {18\pi }{26}}=&{\sqrt[{3}]{\frac {-26-5{\sqrt {13}}-3{\sqrt {39}}i}{2}}}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle \cos(2\pi /26)}$を平方根と立方根で表すと

${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{26}}={\frac {1+{\sqrt {13}}}{12}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{\frac {-26-5{\sqrt {13}}+3{\sqrt {39}}i}{2}}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{\frac {-26-5{\sqrt {13}}-3{\sqrt {39}}i}{2}}}}$

正二十六角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。

正二十六角形は折紙により作図可能である。

• 十三角形

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