Primo de Mersenne – Wikipédia, a enciclopédia livre

Primo de Mersenne é um número de Mersenne (número da forma M_n = 2ⁿ – 1, com "n" número natural) que também é um número primo. Nem todo número de Mersenne é primo: entre os números de Mersenne, com efeito, há aqueles que são primos; porém, além do número um, que é número de Mersenne (M₁ = 1), porém não-primo, pois singular, há também números de Mersenne compostos.

• Assim: M₂ = 3, M₃ = 7, M₅ = 31, M₇ = 127, M₁₃ = 8.191, M₁₇ = 131.071, M₁₉ = 524.287... etc. formam a série de mersennes primos.
• Mas: M₀ = 0 (composto, par); M₁ = 1 (singular, ímpar); M₄ = 15, M₆ = 63, M₈ = 255, M₉ = 511, M₁₀ = 1.023, M₁₁ = 2.047, M₁₂ = 4.095... etc. (todos números compostos e ímpares), formam a série de mersennes não-primos (o zero; o um; e os demais, compostos ímpares).

É o maior número primo conhecido. O número é um tipo especial de primo chamado primo de Mersenne que é da forma 2 elevado a alguma potência menos 1; neste caso, 2 ^{136 279 841} - 1, que tem 41 024 320 dígitos. Assumindo 3 000 caracteres por página, imprimi-lo levaria mais de 13 000 páginas. O novo grande primo foi encontrado usando um algoritmo otimizado para rodar em unidades de processamento gráfico (GPUs) da NVIDIA, os poderosos chips usados ​​em muitas aplicações de IA. Apenas 52 primos de Mersenne são conhecidos e, em notação binária, eles consistem em todos os 1s.^[1]

Os registros históricos dão conta de que os números primos de Mersenne, como atualmente conhecidos, já eram considerados por Euclides de Alexandria (360 a.C. — 295 a.C.), o notável matemático platônico, o criador da geometria euclidiana. Euclides, ao estudá-los, achou-lhes conexão com os números perfeitos. O nome atual, entretanto, veio em consequência dos estudos de Marin Mersenne, matemático francês que chegou a compilar uma lista de mersennes primos até o expoente 257. Verificou-se, posteriormente, que a lista era apenas parcialmente correta: em seu trabalho, ele omitiu M₆₁, M₈₉, M₁₀₇ (que são primos), bem como incluiu impropriamente M₆₇ e M₂₅₇ (que são compostos). Não se tem informação de como Mersenne obteve essa lista e sua verificação rigorosa só foi levada a efeito mais de dois séculos depois.^[1]

Assim como os números de Mersenne, chamam-se assim esses números em honra ao seu mais ilustre estudioso, Marin Mersenne (Oizé, 8 de setembro de 1588 - Paris, 1 de setembro de 1648), matemático, teórico musical, padre mínimo, teólogo e filósofo francês. Dos estudos matemáticos, em especial na teoria dos números, notabilizou-o sobretudo a sua contribuição relativa aos chamados primos de Mersenne.^[1]

Um resultado elementar sobre os números de Mersenne afirma que se ${\displaystyle 2^{n}-1}$ é um número primo, então n também é um número primo. Isso porque o polinômio ${\displaystyle x^{nm}-1}$ é divisível pelo polinômio ${\displaystyle x^{n}-1}$:^[1]

${\displaystyle x^{nm}-1=(x^{n}-1)*\sum _{i\mathop {=} 1}^{m}x^{i-1}\,}$

e os dois fatores, para ${\displaystyle x=2}$, são números maiores que 1.

Uma das questões em aberto na matemática é se existem finitos ou infinitos primos de Mersenne.

Uma outra propriedade é que sabendo que ${\displaystyle x^{n}-1}$ é divisível pelo polinómio ${\displaystyle x-1}$ podemos admitir que só com ${\displaystyle x=2}$ é que se podem obter números primos em expressões do tipo ${\displaystyle x^{n}-1}$.

O número é um tipo especial de primo chamado primo de Mersenne que é da forma 2 elevado a alguma potência menos 1; neste caso, 2 ^{136 279 841} - 1, que tem 41 024 320 dígitos. Assumindo 3 000 caracteres por página, imprimi-lo levaria mais de 13 000 páginas. O novo grande primo foi encontrado usando um algoritmo otimizado para rodar em unidades de processamento gráfico (GPUs) da NVIDIA, os poderosos chips usados ​​em muitas aplicações de IA. Apenas 52 primos de Mersenne são conhecidos e, em notação binária, eles consistem em todos os 1s.

Abaixo esetão listados os números primos de Mersenne conhecidos, acompanhados dos descobridores e época. Nota-se que para os maiores primos de Mersenne somente por meio de computação assistida por artefatos construídos pelo gênio inventivo humano tem sido possível a descoberta. Para mais detalhes, ver Grupo de Busca dos Números Primos de Mersenne, Great Internet Mersenne Prime Search – GIMPS.

(*) A tabela acima não é discretamente exaustiva em todo o intervalo apresentado. Até agora ( terça-feira, 19 de novembro de 2024 03h48min (UTC)), do que a tabela contém, sabe-se (por critérios algorítmicos de busca exaustiva) que todos os primeiros primos de Mersenne de M₂ a M_13.466.917 já foram identificados e são ali listados. Entretanto, entre os primos M_{25 964 951} e M_{57 885 161} (respetivamente, 42º e 48º elementos da lista), não se tem registro oficial de outros primos de Mersenne — o que não significa poder afirmar-se inequivocamente não os haja: os intervalos são cada vez maiores e as buscas são cada vez mais trabalhosas. Como exemplo histórico, cite-se que o 29.º primo de Mersenne foi descoberto somente após os 30º e 31º. É digno de nota que após a descoberta de M_[46º], em apenas 14 dias descobriu-se um primo de Mersenne menor (M_[45º], conforme acima citado).

Padrão de distribuição dos expoentes dos números primos de Mersenne módulo 12:^[2]

Congruência 1 (mod 12): 21,15%

Congruência 5 (mod 12): 40,38%

Congruência 7 (mod 12): 25,00%

Congruência 11 (mod 12): 9,62%

Números separados por congruência (mod 12):

Congruência 1: [13, 61, 2281, 3217, 23209, 44497, 132049, 13466917, 30402457, 42643801, 74207281]

Congruência 5: [5, 17, 89, 521, 4253, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 859433, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 32582657, 43112609, 57885161, 77232917, 82589933, 136279841]

Congruência 7: [7, 19, 31, 127, 607, 1279, 2203, 4423, 110503, 216091, 1257787, 20996011, 24036583]

Congruência 11: [107, 86243, 756839, 25964951, 37156667]

E todos os primos Mercenne maiores que 5 são congruentes a 7 módulo 12

• Número de Fermat
• Número de Mersenne
• Número primo
• Número primo estelar
• Teoria dos números

Referências

• Paulo Ribenboim. The new Book of Prime Number Records. [S.l.: s.n.] 

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