Гаусдорфів простір — Вікіпедія

У топології і суміжних галузях математики гаусдорфів простір, відокремлений простір або ${\displaystyle T_{2}}$-простір — це топологічний простір, в якому для будь-яких двох різних точок існують околи, що не перетинаються. Серед багатьох аксіом відокремлюваності, що можуть бути накладені на топологічний простір, «аксіома Гаусдорфа» (${\displaystyle T_{2}}$) використовується найчастіше і є найбільш обговорюваною. Вона зумовлює однозначність границь послідовностей, множин та фільтрів.^[1]

Гаусдорфів простір був названий на честь Фелікса Гаусдорфа, одного з основоположників топології. Оригінальне означення Гаусдорфа топологічного простору (у 1914 році) включало умову Гаусдорфа як аксіому. Іноді для позначення структури гаусдорфового топологічного простору на множині застосовується термін гаусдорфова топологія.

У топологічному просторі ${\displaystyle X}$ точки ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$ можуть бути розділені околами^[en], якщо існує такий окіл ${\displaystyle U}$ для ${\displaystyle x}$ і такий окіл ${\displaystyle V}$ для ${\displaystyle y}$, що ${\displaystyle U}$ і ${\displaystyle V}$ неперетинні

(${\displaystyle U\cap V=\varnothing }$). ${\displaystyle X}$ вважається гаусдорфовим простором, якщо для двох довільних точок ${\displaystyle x}$ та ${\displaystyle y}$ існують околи ${\displaystyle U(x)}$ та ${\displaystyle V(y)}$, що не перетинаються. Ця умова є третьою аксіомою відокремлюваності (після ${\displaystyle T_{0}}$, ${\displaystyle T_{1}}$), саме тому гаусдорфів простір також називають ${\displaystyle T_{2}}$ простором або відокремленим простором.

Пов'язане, але більш слабке поняття, — це поняття пререгулярного простору. ${\displaystyle X}$ є пререгулярним простором, якщо будь-які дві точки, що мають різні околи^[en], можуть бути розділені відокремлюванням їхніх околів. Пререгулярні простори також називають ${\displaystyle R_{1}}$ просторами.

Зв'язок між цими двома поняттями наступний. Топологічний простір є гасудорфовим тоді і тільки тоді, коли він є одночасно і пререгулярним простором (тобто, точки з різними околами відокремлені своїми околами) і ${\displaystyle T_{0}}$простором (тобто, точки з неперервними околами мають різні околи). Топологічний простір є пререгулярним тоді і тільки тоді, коли його фактор-простір Колмогорова є гаусдорфовим.

Для топологічного простору Х наступні твердження еквівалентні.^[2]

• ${\displaystyle X}$ є гаусдорфовим простором.
• Границі направленостей на ${\displaystyle X}$ визначаються однозначно.^[3]
• Границі фільтрів на ${\displaystyle X}$ визначаються однозначно.^[4]
• Будь-який синґлетон ${\displaystyle \{x\}\subset X}$ рівний перетину всіх замкнених околів ${\displaystyle x}$.^[5](Замкненим околом ${\displaystyle x}$ вважається замкнена множина, яка містить відкриту множину, яка у свою чергу містить ${\displaystyle x}$).
• Множина ${\displaystyle \Delta =\{(x,x)\ |\ x\in X\}}$ замкнена як підмножина добутку топологічних просторів ${\displaystyle X\times X}$.

Є гаусдорфовими:

• всі метричні простори і метризовні простори, зокрема:
  • евклідові простори на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$;
  • многовиди;
  • більшість нескінченомірних функціональних просторів, що вивчає аналіз, таких як ${\displaystyle L^{p}}$ або ${\displaystyle W^{1,\;p}}$, ${\displaystyle p\geq 1}$.
• топологічні групи (за визначенням).

Не є гаусдорфовими, наприклад:

• топологія Зариського на алгебраїчному многовиді;
• у загальному випадку, спектр кільця.

Простий (і важливий) приклад негаусдорфового простору — зв'язна двоточка, а в загальнішому випадку — алгебра Гейтінга.

Майже всі простори, що розглядаються у математичному аналізі є гаусдорфовими. Більше того, простір дійсних чисел (заданий як метричний простір над полем дійсних чисел) є гаусдорфовим простором. Говорячи більш загально, всі метричні простори є гаусдорфовими. Зокрема, більшість просторів, що використовуються в математичному аналізі, такі як топологічні групи і топологічні многовиди^[en], явно включають умову Гаусдорфа у своєму означенні.

Простий приклад топології, яка є простором ${\displaystyle T_{1}}$ і водночас не є гаусдорфовим простором — це скінченна топологія^[en], що визначена на нескінченній множині.

Псевдометричні простори зазвичай не є гаусдорфовими, але вони пререгулярні і у більшості випадків їх використовують при побудові гаусдорфових каліброваних просторів. Зазвичай, коли спеціалісти натикаються на негаусдорфів простір, скоріше за все він буде хоча б пререгулярним, що дає змогу замінити його на фактор-простір Колмогорова цього простору, який у свою чергу є гаусдорфовим.^[6]

З іншого боку, непререгулярні простори найчастіше розглядаються у абстрактній алгебрі і алгебраїчній геометрії, зокрема як топології Зариського на алгебраїчному многовиді або на спектрі кільця. Вони також виникають у теорії моделей інтуїціоністської логіки: будь-яка повна алгебра Гейтінга є алгеброю відкритих множин якогось топологічного простору, але цей простір необов'язково має бути пререгулярним, тим більше гаусдорфовим. Схожа ідея теорії областей Скотта^[en] також складається з непререгулярних просторів.

Не дивлячись на те, що існування однозначних границь для збіжних послідовностей і фільтрів передбачає гаусдорфовість простору, існують негаусдорфові ${\displaystyle T_{1}}$ простори, в яких для кожної збіжної послідовності (направленності) існує однозначна границя.^[7]

Підмножини і добутки гаусдорфових просторів є гаусдорфовими просторами,^[8] але фактор-простори гаусдорфових просторів можуть такими і не бути. Зокрема, будь-який топологічний простір може бути представлений у вигляді фактор-простору якого-небудь гаусдорфового простору.^[9]

Гаусдорфові простори є T₁ просторами. Це означає, що всі синґлетони є замкненими. Щодо пререгулярних просторів, то вони всі є R₀ просторами.

Інша цікава властивість гаусдорфових просторів полягає у тому, що всі компактні простори у ньому завжди є замкненими.^[10] На відміну від, наприклад, негаусдорфових просторів Серпінського, в яких такої властивості немає.

В означенні гаусдорфового простору зазначено те, що точки можуть бути розділені їхніми околами. Як виявляється, це породжує більш вагомий факт: у гаусдорфовому просторі будь-яка пара неперетинних компактних множин також може бути розділена своїми околами.^[11] Іншими словами, існує такий окіл у першої множини і такий окіл у другої множини, що їхні околи неперетинні. Це є прикладом загального правила, що компактні множини у багатьох випадках поводять себе подібно точкам.

Умови повноти разом з пререгулярністю зазвичай передбачають більш сильні аксіоми видокремлюваності. Наприклад, будь-який локально компактний пререгулярний простір є простором Тихонова. Компактні пререгулярні простори є нормальними просторами, що означає, що вони задовільняють лемі Урисона і теоремі Тітце, а також мають структуру розбиття одиниці, що підкоряється локально скінченним відкритим покриттям. Для гаусдорфових просторів мають місце такі аналоги цих тверджень: кожний локально компактний гаусдорфів простір є простором Тихонова і кожний компактний гаусдорфів простір є нормальним.

Нижче описані деякі технічні властивості гаусдорфових просторів щодо відображень (неперервних та інших) на гаусдорфових просторах.

Нехай ${\displaystyle f\ \colon X\rightarrow Y}$ — неперервна функція і нехай ${\displaystyle Y}$ є гаусдорфовим простором, тоді графік функції ${\displaystyle f,\ \{(x,f(x))\mid x\in X\}}$ є замкненою підмножиною простору ${\displaystyle X\times Y}$.

Нехай задана функція ${\displaystyle f\ \colon X\rightarrow Y}$, ${\displaystyle \operatorname {ker} (f)\triangleq \{(x,x')\mid f(x)=f(x')\}}$, де ${\displaystyle \operatorname {ker} (f)}$ — її ядро^[en], яке вважається підпростором в ${\displaystyle X\times X}$.

• Якщо ${\displaystyle f}$ — неперервна, а ${\displaystyle Y}$ є гаусдорфовим простором, тоді ${\displaystyle \operatorname {ker} (f)}$ є замкненою множиною.
• Якщо ${\displaystyle f}$ є відкритою сюр'єкцією, а ${\displaystyle \operatorname {ker} (f)}$ є замкненою множиною, то ${\displaystyle Y}$ є гаусдорфовим простором.
• Якщо ${\displaystyle f}$ є неперервною функцією і водночас відкритою сюр'єкцією (тобто, відкритим фактор-відображенням), то ${\displaystyle Y}$ є гаусдорфовим простором тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle \operatorname {ker} (f)}$ є замкненою множиною.

Якщо ${\displaystyle f,g\ \colon X\rightarrow Y}$ — неперервні відображення, а ${\displaystyle Y}$ є гаусдорфовим, тоді вирівнювач^[en] ${\displaystyle \operatorname {eq} (f,g)=\{x\mid f(x)=g(x)\}}$ є замкненою множиною в ${\displaystyle X}$. Таким чином, якщо ${\displaystyle Y}$ є гаусдорфовим, а ${\displaystyle f}$ та ${\displaystyle g}$ узгоджені на щільній підмножині множини ${\displaystyle X}$, то ${\displaystyle f=g}$. Іншими словами, неперервні відображення у гаусдорфові простори визначаються їхніми значеннями на щільних підмножинах.

Нехай ${\displaystyle f\ \colon X\rightarrow Y}$ є замкненою сюр'єкцією, такою, що ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ є компактним простором для всіх ${\displaystyle y\in Y}$. Тоді, якщо ${\displaystyle X}$ є гаусдорфовим простором, то ${\displaystyle Y}$ також є гаусдорфовим.

Нехай ${\displaystyle f\ \colon X\rightarrow Y}$ є фактор-відображенням, де ${\displaystyle X}$ є компактним гаусдорфовим простором. Тоді мають місце наступні твердження:

• ${\displaystyle Y}$ є гаусдорфовим;
• ${\displaystyle f}$ є замкненим відображенням;
• ${\displaystyle \operatorname {ker} (f)}$ є замкненою множиною.

Всі регулярні простори є пререгулярними, так само, як і всі гаусдорфові простори. Існує багато результатів щодо топологічних просторів, що справедливі як для регулярних, так і для гаусдорфових просторів. Зазвичай ці ж результати також справедливі і для пререгулярних просторів; вони наводяться для регулярних і гаусдорфових просторів, оскільки ідея пререгулярних просторів виникла пізніше. З іншого ж боку, результати, що справедливі щодо регулярности, взагалі кажучи, не застосовуються для нерегулярних гаусдфорових просторів.

Існує багато прикладів, коли яка-небудь інша умова топологічних просторів (така як паракомпактність або локальна компактність) приводитиме до регулярності, якщо простір є пререгулярним. Такі умови часто виникають у двох версіях: регулярна версія і гаусдорфова версія. Не дивлячись на те, що гаусдорфові простори у загальному випадку не є регулярними, вони можуть бути регулярними за умови, наприклад, локальної компактності, так як будь-який гаусдорфів простір є пререгулярним. Отже, з певної точки зору, у таких випадках пререгулярність грає більш важливу роль, аніж регулярність. Все ж означення зазвичай формуються у термінах регулярності, оскільки ця умова більш відома, ніж пререгулярність.

Більше інформації можна знайти на сторінці історії аксіом відокремлюваності^[en].

Терміни «гаусдорфовий», «розділений» і «пререгулярний» також застосовуються у таких варіантах топологічних просторів як рівномірний простір, простір Коші^[en] і простір збіжності. Характеристика, що об'єднує головну ідею у всіх цих прикладах просторів це те, що границя множин і фільтрів (якщо вони існують) є однозначною (для відокремлених просторів) або однозначною з точністю до топологічної нерозрізненості (для пререгулярних просторів).

Виявляється, що рівномірні простори, і більш загальні простори Коші, завжди пререгулярні, тому аксіома Гаусдорфа у цих випадках редукується до аксіоми ${\displaystyle T_{0}}$. Також у цих просторах поняття повноти має сенс і, як правило, супроводжується гаусдорфівістю. А саме, простір вважається повним тоді і тільки тоді, коли кожна множина Коші має щонайменше одну границю, а гаусдорфовим простір вважається тоді і тільки тоді, коли кожна множина Коші має щонайбільше одну границю (оскільки лише множини Коші можуть мати границі).

Алгеброю неперервних (дійсних або комплексних) функцій на компактному гаусдорфовому просторі називається комутативна C*-алгебра і навпаки, за допомогою теореми Банаха — Стоуна^[en] можливо відтворити топологію простору з алгебраїчних властивостей її алгебри неперервних функцій. Це приводить нас до некомутативної геометрії^[en], де можна розглянути некомутативні C*-алгебри як представлення алгебр функцій на некомутативному просторі.

• Аксіома Гаусдорфа також може бути ілюстрована за допомогою англійської гри слів, а саме, що будь-які дві точки можуть бути «housed off» одна від іншої відкритими множинами, що звучить як «Hausdorff».^[12]
• У Боннському університеті математики, в якому викладав і займався дослідженнями Фелікс Гаусдорф, існує кімната із назвою Hausdorff-Raum. Це гра слів, оскільки з німецької Raum має відразу два значення — «кімната» і «простір».

• Квазі-топологічний простір^[en]
• Слабкий гаусдорфів простір
• Простір з нерухомою точкою^[en], гаусдорфів простір ${\displaystyle X}$, у якому будь-яка неперервна функція ${\displaystyle f\ \colon X\rightarrow Y}$ має нерухому точку.
• Простір неперервних функцій

• Бурбакі Н. Загальна топологія: Основні структури. — 3-е. — М. : Наука, 1968. — С. 276. — (Елементи математики)(рос.)
• Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — Москва : Наука, 1977. — 368 с. — ISBN 5354008220.(рос.)