Рівнодіагональний чотирикутник — Вікіпедія

Рівнодіагональний чотирикутник, ромб Варіньона, з перпендикулярними бімедіанами

В евклідовій геометрії рівнодіагональний чотирикутник — це опуклий чотирикутник, дві діагоналі якого мають рівні довжини. Рівнодіагональні чотирикутники мали важливе значення в давній індійській математиці, де в класифікації насамперед виділялися рівнодіагональні чотирикутники, і лише потім чотирикутники поділялися на інші типи[1].

Окремі випадки

[ред. | ред. код]

Прикладами рівнодіагональних чотирикутників є рівнобічна трапеція, прямокутник та квадрат.

Рівнодіагональний дельтоїд, що максимізує відношення периметра до діаметра, вписаний у трикутник Рело

Серед усіх чотирикутників найбільше відношення периметра до діаметра має рівнодіагональний дельтоїд із кутами π/3, 5π/12, 5π/6 та 5π/12 [2] [3] .

Опуклий чотирикутник має рівні діагоналі тоді й лише тоді, коли його паралелограм Варіньона, утворений серединами сторін, є ромбом. Еквівалентна умова — бімедіани чотирикутника (діагоналі параллелограма Варіньона) перпендикулярні[4].

Опуклий чотирикутник із довжинами діагоналей і та довжинами бімедіан і є рівнодіагональним тоді й лише тоді, коли[5]

Площа

[ред. | ред. код]

Площу K рівнодіагонального чотирикутника можна легко обчислити, якщо відомі довжини бімедіан m і n . Чотирикутник рівнодіагональний тоді й лише тоді, коли[6][7]

Це прямий наслідок факту, що площа опуклого чотирикутника дорівнює подвоєній площі паралелограма Варіньона і діагоналі в цьому паралелограмі є бімедіанами чотирикутника. Якщо використати формули довжин бімедіан, площу можна виразити в термінах сторін a, b, c, d рівнодіагонального чотирикутника та відстані x між серединами діагоналей[6]

Іншу формулу площі можна отримати, прийнявши p = q у формулі площі опуклого чотирикутника.

Зв'язок з іншими типами чотирикутників

[ред. | ред. код]

Паралелограм рівнодіагональний тоді й лише тоді, коли він є прямокутником[8], а трапеція рівнодіагональна тоді й лише тоді, коли вона є рівнобічною. Вписані рівнодіагональні чотирикутники є рівнобедреними трапеціями.

Існує двоїстість[en] між рівнодіагональними чотирикутниками і ортодіагональними чотирикутниками — чотирикутник рівнодіагональний тоді й лише тоді, коли його паралелограм Варіньона має перпендикулярні діагоналі (тобто є ромбом), а чотирикутник має перпендикулярні діагоналі тоді й лише тоді, коли його паралелограм Варіньона рівнодіагональний (тобот є прямокутником)[4]. Еквівалентно, чотирикутник має рівні діагоналі тоді й лише тоді, коли його бімедіани перпендикулярні, і він має перпендикулярні діагоналі тоді й лише тоді, коли його бімедіани рівні[9]. Сільвестер[10] зауважив подальший зв'язок між рівнодіагональними і ортодіагональними чотирикутниками, узагальнивши теорему ван Обеля[11].

Чотирикутники, які одночасно ортодіагональні та рівнодіагональні, і в яких діагоналі не коротші за всі сторони чотирикутника, мають найбільшу площу відносно діаметра, що розв'язує випадок n = 4 задачі найбільшого за площею многокутника одиничного діаметра. Квадрат є одним із таких чотирикутників, але існує нескінченно багато інших. Рівнодіагональні чотирикутники з перпендикулярними діагоналями називають середньоквадратними чотирикутниками[12], оскільки це тільки ті чотирикутники, для яких паралелограм Варіньона (з вершинами в серединах сторін чотирикутника) є квадратом. Такі чотирикутники зі сторонами a, b, c та d мають площу[13]:

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. Colebrooke, 1817, с. 58.
  2. Ball, 1973, с. 298–303.
  3. Griffiths, Culpin, 1975, с. 165–175.
  4. а б de Villiers, 2009, с. 58.
  5. Josefsson, 2014, с. 129-144, Prop.1.
  6. а б Josefsson, 2014, с. 19.
  7. Josefsson, 2014, с. 129-144, Corollary 4.
  8. Gerdes, 1988, с. 137–162.
  9. Josefsson, 2012, с. 13–25, См. теорему 7 на стр. 19.
  10. Silvester, 2006.
  11. Silvester, 2006, с. 2–12.
  12. Josefsson, 2014, с. 137.
  13. Josefsson, 2014, с. 129-144, T.16.

Література

[ред. | ред. код]