Правильний многокутник — Вікіпедія

Правильний многокутник
Правильний дванадцятикутник (приклад)
Тип	многокутник
Властивості	Опуклий, рівносторонній, ізогональний (вершинно-транзитивний), ізотоксальний (реберно-транзитивний), конциклічний (вписаний в коло)
Елементи	n ребер n вершин
Позначення
Символ Шлефлі	{n}
Діаграма Коксетера-Динкіна	або (x n o)
Група симетрії	Dn, порядок 2n (Діедральна група)
Двоїстий	Самодвоїстий

В евклідовій геометрії пра́вильний многоку́тник (багатоку́тник, n-ку́тник, поліго́н) — многокутник, у якого всі кути рівні і всі сторони рівні (мають однакову довжину).

Правильні многокутники можуть бути опуклими, зірчатими або просторовими.

Якщо n прямує до нескінченності, то правильний многокутник наближається за формою до кола, якщо зробити сталим значення периметру чи площі, або до апейрогона (пряма лінія), якщо зробити сталою довжину сторони.

Всі опуклі правильні многокутники є простими многокутниками. Всі правильні n-кутники подібні між собою.

Центром правильного многокутника називають точку, рівновіддалену від усіх його вершин і всіх його сторін.

Відрізок (а також його довжина) перпендикуляра, проведеного з центру правильного многокутника до його сторони, називається апотемою правильного многокутника. Апотема дорівнює радіусу вписаного в даний многокутник кола.

Центральним кутом правильного n-кутника (кут α) називають кут, під яким сторону n-кутника видно з його центру.

${\displaystyle \alpha ={\frac {360^{0}}{n}}}$ градусів ${\displaystyle ={\frac {2\pi }{n}}}$ радіан.

Сума центральних кутів: ${\displaystyle \sum \alpha =360^{0}=2\pi }$ рад.

Внутрішній кут правильного n-кутника — кут між сусідніми сторонами:

${\displaystyle \beta ={\frac {180^{0}(n-2)}{n}}}$ градусів ${\displaystyle ={\frac {(n-2)\cdot \pi }{n}}}$ радіан.

Сума внутрішніх кутів: ${\displaystyle \sum \beta =180^{0}(n-2)}$.

Зовнівнішній кут — кут, суміжний з внутрішнім кутом. ${\displaystyle \gamma =180^{0}-\beta =\alpha }$

${\displaystyle \gamma ={\frac {360^{0}}{n}}}$ градусів ${\displaystyle ={\frac {2\pi }{n}}}$ радіан.

Сума зовнішніх кутів многокутника, взятих по одному біля кожної вершини, дорівнює 360⁰

Сторона правильного n-кутника
n	через радіус описаного кола R ${\displaystyle a=2\cdot \sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cdot R}$		через радіус вписаного кола r ${\displaystyle a=2\cdot \mathop {\mathrm {tg} } \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cdot r}$
3	${\displaystyle {\sqrt {3}}\cdot R}$	≈ 1.7320508∙R	${\displaystyle 2{\sqrt {3}}\cdot r}$	≈ 3.4641016∙r
4	${\displaystyle {\sqrt {2}}\cdot R}$	≈ 1.4142136∙R	${\displaystyle 2\cdot r}$	= 2∙r
5	${\displaystyle {\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\cdot R}$	≈ 1.1755705∙R	${\displaystyle 2{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\cdot r}$	≈ 1.4530851∙r
6	${\displaystyle R}$	= 1∙R	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}\cdot r}$	≈ 1.1547005∙r
7		≈ 0.8677674∙R		≈ 0.9631492∙r
8	${\displaystyle {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\cdot R}$	≈ 0.7653669∙R	${\displaystyle 2({\sqrt {2}}-1)\cdot r}$	≈ 0.8284271∙r
9		≈ 0.6840403∙R		≈ 0.7279405∙r
10	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\cdot R}$	≈ 0.6180339∙R	${\displaystyle 2{\sqrt {\frac {5-2{\sqrt {5}}}{5}}}\cdot r}$	≈ 0.6498393∙r
11		≈ 0.5634651∙R		≈ 0.5872529∙r
12	${\displaystyle {\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}\cdot R}$	≈ 0.5176381∙R	${\displaystyle 2(2-{\sqrt {3}})\cdot r}$	≈ 0.5358984∙r

Нехай  ‒ ${\displaystyle a}$ сторона правильного n-кутника,
R ‒ радіус описаного кола,
r ‒ радіус вписаного кола,
P ‒ периметр,
${\displaystyle a_{p}}$ ‒ апотема правильного n-кутника.

Довжина сторони правильного n-кутника дорівнює:

${\displaystyle a=2\cdot \sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cdot R=2\cdot \mathop {\mathrm {tg} } \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cdot r=2\cdot {\sqrt {R^{2}-r^{2}}}}$

Периметр ‒ сума всіх довжин сторін правильного n-кутника:

${\displaystyle P=n\cdot a=2n\cdot \sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cdot R=2n\cdot \mathop {\mathrm {tg} } \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cdot r=2n\cdot {\sqrt {R^{2}-r^{2}}}}$

Периметри двох правильних n-кутників відносяться як їх відповідні лінійні елементи (сторони, радіуси вписаних чи описаних кіл).

${\displaystyle {\frac {P_{1}}{P_{2}}}={\frac {a}{b}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}={\frac {R_{2}}{R_{2}}}}$

Навколо кожного правильного n-кутника можна описати коло, і в кожен правильний n-кутник можна вписати коло. Тобто правильний многокутник є біцентричним. Центри вписаного і опиваного кіл співпадають і знаходяться в центрі правильного n-кутника.

Радіус вписаного кола правильного n-кутника (дорівнює апофемі правильного n-кутника) ‒ дотичний до всіх його ребер:

${\displaystyle r={\frac {1}{2}}\mathop {\mathrm {ctg} } \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cdot a=\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cdot R={\sqrt {R^{2}-{\frac {a^{2}}{4}}}}}$

Радіус описаного кола правильного n-кутника ‒ проходить через всі його вершини:

${\displaystyle R={\frac {1}{2\cdot \sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}\cdot a=\sec \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cdot r={\sqrt {r^{2}+{\frac {a^{2}}{4}}}}}$

Площа кільця, утвореного вписаним та описаним колом залежить тільки від довжини сторони: ${\displaystyle S={\frac {\pi }{4}}\cdot a^{2}}$

Площу правильного многокутника з числом сторін ${\displaystyle n}$ можна обчислити за формулами:

${\displaystyle S={\frac {n}{4}}\mathop {\mathrm {ctg} } \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cdot a^{2}}$ ${\displaystyle S={\frac {n}{2}}\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)\cdot R^{2}}$ ${\displaystyle S=n\cdot \mathop {\mathrm {tg} } \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cdot r^{2}}$

${\displaystyle S={\frac {a\cdot n}{2}}{\sqrt {R^{2}-{\frac {a^{2}}{4}}}}={\frac {a\cdot n\cdot r}{2}}={\frac {1}{2}}P\cdot r=p\cdot a_{p}}$ де P , p ‒ периметр та півпериметр правильного n-кутника; ${\displaystyle a_{p}}$ ‒ апотема правильного n-кутника; r, R — радіуси вписаного та описаного кіл/ апофема.

Правильний n-кутник можна розбит на n рівних рівнобічних трикутників з вершинами в центрі многокутника. У кожного із цих трикутників основа дорівнює стороні многокутника, а висота — його апотемі. Застосовуємо формулу площі трикутника: ${\displaystyle S={\frac {1}{2}}bh,}$

де S — площа, b — основа, h — висота. Отримуємо формулу для обчислення площі правильного многокутника :

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}a\cdot a_{p}\cdot n={\frac {1}{2}}P\cdot a_{p}}$

де a — сторона правильного n-кутника, ${\displaystyle a_{p}}$ — апофема, P — периметр.

Площі двох правильних n-кутників відносяться як квадрати їх відповідних лінійних елементів (сторін, радіусів вписаних чи описаних кіл, діагоналей).^[1]

${\displaystyle {\frac {S_{1}}{S_{2}}}={\frac {a^{2}}{b^{2}}}={\frac {r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}}}={\frac {R_{1}^{2}}{R_{2}^{2}}}}$

Нехай навколо даного кола радіуса R описано правильний n-кутник зі стороною A_n , периметром P_n і площею S_n, і в це ж коло вписано правильний n-кутник зі стороною a_n , периметром p_n і площею s_n. Тоді^{[2]:87[3]:332}:

Для вписаного (в це ж коло) 2n-кутника з подвоєною кількістю сторін:	Для описаного (навколо цього ж кола) 2n-кутника з подвоєною кількістю сторін:	У коло радіуса R вписано правильний 2n-кутник зі стороною ${\displaystyle a_{2n}}$ і площею ${\displaystyle s_{2n}}$.
Сторона: ${\displaystyle a_{2n}=R\cdot {\sqrt {2-2\cdot {\sqrt {1-\left({\frac {a_{n}}{2\cdot R}}\right)^{2}}}}}}$ ${\displaystyle a_{2n}={\sqrt {2R^{2}-R\cdot {\sqrt {4R^{2}-a_{n}^{2}}}}}={\sqrt {\frac {a_{n}\cdot A_{2n}}{2}}}}$	Сторона: ${\displaystyle A_{2n}={\frac {2R\cdot A_{n}}{2R+{\sqrt {4R^{2}+A_{n}^{2}}}}}={\frac {a_{n}\cdot A_{n}}{a_{n}+A_{n}}}}$	Сторона правильного n-кутника, вписаного в це ж коло: ${\displaystyle a_{n}=a_{2n}\cdot {\sqrt {4-\left({\frac {a_{2n}}{R}}\right)^{2}}}}$
Периметр: ${\displaystyle p_{2n}={\sqrt {p_{n}\cdot P_{2n}}}}$ , ${\displaystyle p_{2n}>p_{n}}$	Периметр: ${\displaystyle P_{2n}={\frac {2p_{n}\cdot P_{n}}{p_{n}+P_{n}}}}$ , ${\displaystyle P_{n}>P_{2n}}$
Площа: ${\displaystyle s_{2n}={\frac {n\cdot R^{2}}{\sqrt {2}}}\cdot {\sqrt {1-{\sqrt {1-\left({\frac {2s_{n}}{n\cdot R^{2}}}\right)^{2}}}}}}$	Площа: ${\displaystyle S_{2n}={\frac {2s_{2n}\cdot S_{n}}{s_{2n}+S_{n}}}}$	Площа правильного n-кутника: ${\displaystyle s_{n}=s_{2n}\cdot {\sqrt {1-\left({\frac {s_{2n}}{n\cdot R^{2}}}\right)^{2}}}}$

Нехай навколо даного кола радіуса R описано правильний n-кутник зі стороною A_n , і в це ж коло вписано правильний n-кутник зі стороною a_n. Тоді:

${\displaystyle a_{n}={\frac {2R\cdot A_{n}}{\sqrt {4R^{2}+A_{n}^{2}}}}}$

${\displaystyle A_{n}={\frac {2R\cdot a_{n}}{\sqrt {4R^{2}-a_{n}^{2}}}}}$

Діагоналлю многокутника називають відрізок, що з'єднує дві несусідні вершини многокутника. Діагоналі, що виходять з однієї вершини опуклого n–кутника, ділять його на n — 2 трикутники.

Кількість діагоналей правильного n–кутника: ${\displaystyle {\frac {n\cdot (n-3)}{2}}}$

Кут між будь-якими сусідніми діагоналями, що виходять із однієї вершини (включно зі сторонами, що виходять із цієї вершини): ${\displaystyle \varphi ={\frac {\pi }{n}}}$

При парному n, ${\displaystyle {\frac {n}{2}}}$ діагоналей правильного многокутника, що мають найбільшу довжину, перетинаються в одній точці — в центрі правильного многокутника;

При непарному n, ${\displaystyle n}$ діагоналей, що мають найбільшу довжину, при перетині, утворюють всередині n–кутника такий же n–кутник меншого розміру.

Довжини діагоналей правильного n–кутника можна обчислити за формулою:

${\displaystyle d_{k}={\frac {\sin \left({\frac {(k+1)\cdot \pi }{n}}\right)}{\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}\cdot a}$ , при ${\displaystyle k=1,2,3,...,n-3;(k\in \mathbb {N} )}$

Всі діагоналі правильного n-кутника при перетині ділять його на 1, 4, 11, 24, 50, 80, 154, 220, 375, 444… частин (відповідно для n = 3, 4, 5, …)  A007678.

Кількість точок перетину діагоналей усередині правильного многокутника: 0, 1, 5, 13, 35, 49, 126, 161, 330, 301,… (відповідно для n = 3, 4, 5, …)  A006561.

• Найбільша кількість діагоналей правильного ${\displaystyle n}$-кутника, що перетинаються в одній точці, яка не є його вершиною або центром, дорівнює:
  • 2, якщо n непарне;
  • 3, якщо n парне, але не ділиться на 6;
  • 5, якщо n ділиться на 6, але не ділиться на 30;
  • 7, якщо n ділиться на 30

Для цих значень існує три виключення: ця кількість = 0 в трикутнику, 2 в шестикутнику та 4 в дванадцятикутнику.^[4].

Нехай існує наступна функція ${\displaystyle \delta _{m}(n)={\begin{cases}1,&{\text{якщо }}n{\text{ ділиться на}}m\\0,&{\text{якщо }}n{\text{ не ділиться на }}m\end{cases}}}$. Тоді:

• Кількість точок перетину діагоналей правильного n-кутника дорівнює^[4]

${\displaystyle {\begin{array}{l}C_{n}^{4}+{\frac {-5n^{3}+45n^{2}-70n+24}{24}}\cdot \delta _{2}(n)-{\frac {3n}{2}}\cdot \delta _{4}(n)+{\frac {-45n^{2}+262n}{6}}\cdot \delta _{6}(n)+42n\cdot \delta _{12}(n)+60n\cdot \delta _{18}(n)+35n\cdot \delta _{24}(n)-\\-38n\cdot \delta _{30}(n)-82n\cdot \delta _{42}(n)-330n\cdot \delta _{60}(n)-144n\cdot \delta _{84}(n)-96n\cdot \delta _{90}(n)-144n\cdot \delta _{120}(n)-96n\cdot \delta _{210}(n)\end{array}}}$

Де ${\displaystyle C_{n}^{4}}$ — число сполук із ${\displaystyle n}$ по ${\displaystyle 4}$.

• Кількість частин, на які діагоналі при перетині ділять правильный n-кутник дорівнює:^[4]

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac {n^{4}-6n^{3}+23n^{2}-42n+24}{24}}+{\frac {-5n^{3}+42n^{2}-40n-48}{48}}\cdot \delta _{2}(n)-{\frac {3n}{4}}\cdot \delta _{4}(n)+{\frac {-53n^{2}+310n}{12}}\cdot \delta _{6}(n)+{\frac {49n}{2}}\cdot \delta _{12}(n)+32n\cdot \delta _{18}(n)+\\+19n\cdot \delta _{24}(n)-36n\cdot \delta _{30}(n)-50n\cdot \delta _{42}(n)-190n\cdot \delta _{60}(n)-78n\cdot \delta _{84}(n)-48n\cdot \delta _{90}(n)-78n\cdot \delta _{120}(n)-48n\cdot \delta _{210}(n)\end{array}}}$

Для правильного n-кутника, вписаного в коло одиничного радіуса, добуток відстаней від даної вершини до всіх інших вершин (включно із суміжними вершинами та вершинами, з'єднані діагоналями) дорівнює n.[1]

Сума квадратів всіх сторін та всіх діагоналей правильного n-кутника, вписаного в коло радіуса R дорівнює n²R^{2[5]:73, наслідок}

Нехай ${\displaystyle x_{0}}$ та ${\displaystyle y_{0}}$ — координати центра, а ${\displaystyle R}$ — радіус описаного навколо правильного многокутника кола, ${\displaystyle {\phi }_{0}}$ — кутова координата першої вершини, тоді декартові координати вершин правильного многокутника визначаються формулами

${\displaystyle x_{i}=x_{0}+R\cos \left({\phi }_{0}+{\frac {2\pi i}{n}}\right)}$,

${\displaystyle y_{i}=y_{0}+R\sin \left({\phi }_{0}+{\frac {2\pi i}{n}}\right)}$,

де ${\displaystyle i=0,\dots ,n-1}$.

Групою симетрії правильного n-кутника є діедральна група D_n (порядку 2n): D₂, D₃, D₄, … Вона складається з n обертових симетрій і n осьових симетрій.

Якщо n парне, тоді існує n/2 осей симетрій, що проходять через дві протилежні вершини, а інша половина через середини протилежних сторін.

Якщо n непарне, то всі осі проходять через вершину та середину протилежної сторони.

Так чи інакше, існує n осей симетрії і 2n елементів у групі симетрій. Відбиття відносно однієї з осей симетрії із наступним відбиттям відносно іншої осі рівноцінно обертанню на подвоєний кут між осями.

1. Всі бісектриси кутів між сторонами рівні і проходять через центр правильного многокутника.
2. Всі серединні перпендикуляри проходять через центр правильного многокутника. Щоб знайти центр правильного n-кутника, достатньо знайти точку перетину двох серединних перпендикулярів, проведених до сусідніх сторін.
3. Центр мас правильного n-кутника лежить у його геометричному центрі
4. Правильний n-кутник можна побудувати за допомогою циркуля й лінійки тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle n=2^{k}\cdot p_{1}\cdot \ldots \cdot p_{m}}$, де — різні прості числа Ферма.
   • Зокрема, правильний n-кутник є таким, що будується, якщо n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, … послідовність  A003401
5. Правильними n-кутниками можна замостити площину без проміжків та накладень тільки при n = 3, 4 та 6 , тобто тільки правильними трикутниками, квадратами та правильними шестикутниками.

Теорема Вівіані для правильного n-кутника

У своєму виданні п'ятої книги «Конічні перетини» Аполлонія^[6] Вівіані надає таку теорему:

Зокрема, якщо ${\displaystyle h_{i}}$ ‒ відстані від деякої точки Р, що лежить всередині правильного n-кутника, до його сторін,

${\displaystyle a_{p}}$ ‒ апотема цього n-кутника, то виконується рівність^[7][5]:72

${\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{n}\displaystyle h_{i}=a_{p}\cdot n}$

Сума довжин перпендикулярів, опущених з вершин правильного n-кутника на будь-яку пряму, дотичну до описаного кола, дорівнює радіусу описаного кола, помноженому на n:^[5]:73

${\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{n}\displaystyle \ell _{i}=n\cdot R}$

Сума квадратів відстаней від вершин правильного n-кутника до будь-якої точки на описаному колі дорівнює,^[5]:73

${\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{n}\displaystyle d_{i}^{2}=2n\cdot R^{2}}$

де R — радіус описаного кола.

Сума квадратів відстаней від середин сторін правильного n-кутника до будь-якої точки описаного кола дорівнює^[5]:73

${\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{n}\displaystyle m_{i}^{2}=2n\cdot R^{2}-{\frac {1}{4}}n\cdot a^{2}}$

де ${\displaystyle a}$ — довжина сторони правильного n-кутника

Якщо ${\displaystyle d_{i}}$ — відстані від вершин правильного ${\displaystyle n}$-кутника до будь-якої точки на описаному колі, то:^[8]

${\displaystyle 3\left(\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}\right)^{2}=2n\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}}$.

Точка в площині правильного n-кутника

Нехай ${\displaystyle d_{i}}$ — відстані від довільної точки площини до вершин правильного n-кутника, а R — радіус описаного кола. Тоді виконується рівність:^[9]

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}+3R^{4}=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}+R^{2}\right)^{2}.}$

Існують формули для більших показників степеня відстаней ${\displaystyle d_{i}}$. Якщо:

${\displaystyle S_{n}^{(2m)}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}}$,

то:^[8]

${\displaystyle S_{n}^{(2m)}=\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {m}{2}}\right\rfloor }{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}R^{2k}\left(S_{n}^{(2)}-R^{2}\right)^{k}\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m-2k}}$,

а також

${\displaystyle S_{n}^{(2m)}=\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {m}{2}}\right\rfloor }{\frac {1}{2^{k}}}{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}\left(S_{n}^{(4)}-\left(S_{n}^{(2)}\right)^{2}\right)^{k}\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m-2k}}$,

де ${\displaystyle m}$ — додатне ціле число менше ніж ${\displaystyle n}$.

Якщо ${\displaystyle L}$ — відстань від довільної точки на площині до центра правильного n-кутника з радіусом описаного кола ${\displaystyle R}$, то:^[8]

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}=n\left(\left(R^{2}+L^{2}\right)^{m}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {m}{2}}\right\rfloor }{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}R^{2k}L^{2k}\left(R^{2}+L^{2}\right)^{m-2k}\right)}$,

де ${\displaystyle m}$ = 1, 2, …, ${\displaystyle n-1}$.

Правильними многокутниками за визначенням є грані правильних многогранників.

Давньогрецькі математики (Антіфон, Брісон(інші мови), Архімед та ін.) використовували правильні многокутники для обчислення числа ${\displaystyle \pi }$. Вони обчислювали площі вписаних в коло і описаних навколо нього многокутників, поступово збільшуючи число їх сторін і отримуючи таким чином оцінку площі кола.^[10]

Побудова правильного многокутника (n-кутника) за допомогою циркуля та лінійки залишалась проблемою для математиків до XIX століття. Така побудова ідентична розділенню кола на n рівних частин, оскільки з'єднавши між собою точки, що ділять коло на рівні частини, можна отримати шуканий многокутник.

Евклід у своїх «Началах» описав побудову правильних многокутників у Книзі IV і вирішив задачу для n = 3, 4, 5, 6, 15. Він визначив певний критерій можливості побудувати многокутник, хоча цей критерій і не було описано в «Началах». Давньогрецькі математики вміли будувати многокутник з 2^m сторонами (при цілому m > 1), маючи вже побудований многокутник із кількістю сторін 2^{m — 1}: поділом дуги на дві частини. Таким чином із двох півкіл можна побудувати квадрат, потім правильний восьмикутник, правильний шістнадцятикутник і так далі. Окрім цього, в тій же книзі Евклід вказав і другий критерій: якщо відомо, як будувати многокутники з r та s сторонами, де r та s — взаємно прості числа, то можна побудувати і многокутник із r × s сторонами. Синтезуючи ці два способи, можна дійти висновку, що стародавні математики вміли будувати правильні многокутники з ${\displaystyle 2^{m}\cdot {p_{1}}^{k_{1}}\cdot {p_{2}}^{k_{2}}}$ сторонами, де m — ціле невід'ємне число, ${\displaystyle {p_{1}},{p_{2}}}$ — числа 3 та 5, а ${\displaystyle {k_{1}},{k_{2}}}$ приймають значення 0 або 1.

Середньовічна математика майже ніяк не просунулась у цьому питанні. Лише 1796 року Карлу Фрідріху Гаусу вдалося довести, що коли кількість сторін правильного многокутника дорівнює простому числу Ферма, до яких, крім 3 та 5, належать 17, 257 и 65537, то його можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки. Якщо брати взагалі, із цього випливає, що правильний многокутник можливо побудувати, якщо кількість його сторін дорівнює ${\displaystyle 2^{k_{0}}{p_{1}}^{k_{1}}{p_{2}}^{k_{2}}\cdots {p_{s}}^{k_{s}}}$, де ${\displaystyle {k_{0}}}$ — ціле невід'ємне число, ${\displaystyle {k_{1}},{k_{2}}\cdots {k_{s}}}$ набувають значення 0 або 1, а ${\displaystyle \mathrm {p_{j}} }$ — прості числа Ферма.

Гаус підозрював, що ця умова є не тільки достатньою, але й необхідною, але вперше це довів П'єр Лоран Ванцель 1836 року.

Крапку в справі побудови правильних многокутників поставила побудова правильних 17-, 257- та 65537-кутників. Першу винайшов Йоханес Ерхінгер 1825 року, другу — Фрідріх Юліус Рішело 1832 року, третю — Іоган Густав Гермес 1894 року.

Відтоді проблема вважається повністю вирішеною.

Гарольд Коксетер стверджує, що кожен зоногон (2m-кутник, протилежні сторони якого паралельні й мають однакову довжину) можна розрізати на

${\displaystyle {\binom {m}{2}}={\frac {m\cdot (m-1)}{2}}}$ паралелограмів. Ці мозаїки містяться як підмножини вершин, ребер і граней в ортогональних проекціях m-кубів^[11].

Зокрема, це справедливо для будь-якого правильного многокутника з парною кількістю сторін, у цьому випадку всі паралелограми є ромбами.

Послідовність  A006245 містить кількість ромбів у розбитті правильного 2m-кутника.

Приклади розбиття на ромби правильних 2m-кутників

2m	6	8	10	12	14	16	18	20	24	30	40	50
Зображення
Ромби	3	6	10	15	21	28	36	45	66	105	190	300

• Теорема Гаусса — Ванцеля
• Найбільший многокутник одиничного діаметра
• Фігурні числа

• Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Геометрія: підруч. для 9 кл. загальноосвіт. навч. закладів. — Харків : Гімназія, 1966. — С. 240 : стор. 51-61. — ISBN 978-966-474-295-2.
• Істер О.С. Геометрія: 9 клас. — Київ : Генеза, 2017. — С. 243 : стор. 203. — ISBN 978-966-11-0844-7.

• Regular Polygons and Other Two Dimensional Shapes
• Weisstein, Eric W. RegularPolygon. From MathWorld