Двадцятичотирьохкомірник — Вікіпедія

Двадцятичотирьохкомірник
Діаграма Шлегеля
(вершини та ребра)
Типопуклий правильний 4-політоп[en]
Граней96 {3}
Ребер96
Вершин24
Комірок24 {3,4}
Символ Шлефлі{3,4,3}
r{3,3,4} =
{31,1,1} =
Діаграма Коксетера
або
або
Площа поверхні
Об'єм
Дуальний многогранниксамодвоїстий
опуклий, ізогональний, ізотоксальний, ізоедральний
Розгортка
Проєкція обертового двадцятичотирьохкомірника в тривимірний простір
Ортогональна проєкція обертового двадцятичотирьохкомірника на площину

Правильний двадцятичотирьохкомірник, або просто двадцятичотирьохкомірник, або ікосітетрахор (від дав.-гр. εἴκοσι — «двадцять», τέτταρες — «чотири» і χώρος — «місце, простір») — один із шести правильних багатокомірників у чотиривимірному просторі.

Відкрив Людвіг Шлефлі в середині 1850-х років[1]. Символ Шлефлі двадцятичотирьохкомірника — {3,4,3}.

Двоїстий сам собі; двадцятичотирьохкомірник — єдиний самодвоїстий правильний політоп розмірності більше 2, що не є симплексом. Цим обумовлена унікальність двадцятичотирьохкомірника: на відміну від п'яти інших правильних двадцятичотирьохкомірників, він не має аналога серед платонових тіл.

Обмежений 24 тривимірними комірками — однаковими октаедрами. Кут між двома суміжними комірками дорівнює

96 двовимірних граней — рівні правильні трикутники. Кожна грань розділяє 2 прилеглі до неї комірки.

Має 96 ребер рівної довжини, розташованих так само, як ребра трьох тесерактів зі спільним центром. На кожному ребрі сходяться по 3 грані та по 3 комірки.

Має 24 вершини, розташовані так само, як вершини трьох шістнадцятикомірників зі спільним центром. У кожній вершині сходяться по 8 ребер, по 12 граней та по 6 комірок.

Двадцятичотирьохкомірник можна розглядати як повністю зрізаний[en] шістнадцятикомірник.

Двадцятичотирьохкомірник можна зібрати з двох рівних тесерактів, розрізавши один з них на 8 однакових кубічних пірамід, основи яких — 8 комірок тесеракта, а вершини збігаються з його центром, і потім приклавши ці піраміди до 8 кубічних комірок іншого тесеракта. У тривимірному просторі аналогічно можна з двох рівних кубів зібрати ромбододекаедр — який, однак, не є правильним.

У координатах

[ред. | ред. код]

Перший спосіб розташування

[ред. | ред. код]

Двадцятичотирьохкомірник можна розмістити в декартовій системі координат так, щоб 8 з його вершин мали координати (ці вершини розташовані так само, як вершини шістнадцятикомірника), а решта 16 вершин — координати (вони розташовані так само, як вершини тесеракта; крім того, ті 8 з них, серед координат яких непарна кількість від'ємних, утворюють вершини іншого шістнадцятикомірника, а інші 8 — вершини третього шістнадцятикомірника).

При цьому ребром будуть з'єднані ті вершини, у яких усі чотири координати різняться на або одна з координат відрізняється на а решта збігаються.

Початок координат буде центром симетрії двадцятичотирьохкомірника, а також центром його вписаної, описаної та напіввписаних тривимірних гіперсфер .

Другий спосіб розташування

[ред. | ред. код]

Крім того, двадцятичотирьохкомірник можна розмістити так, щоб координати всіх його 24 вершин були всілякими перестановками чисел (Ці точки — центри 24 комірок багатокомірника, описаного в попередньому розділі).

При цьому ребром будуть з'єднані ті вершини, у яких якісь дві координати різняться на а інші дві збігаються.

Центром багатоосередника знову буде початок координат.

Ортогональні проєкції на площину

[ред. | ред. код]

Метричні характеристики

[ред. | ред. код]

Якщо двадцятичотирьохкомірник має ребро довжини то його чотиривимірний гіпероб'єм і тривимірна гіперплоща поверхні становлять відповідно

Радіус описаної тривимірної гіперсфери (що проходить через усі вершини багатокомірника) при цьому дорівнюватиме.

радіус зовнішньої напіввписаної гіперсфери (що дотикається до всіх ребер у їхніх серединах) -

радіус внутрішньої напіввписаної гіперсфери (що дотикається до всіх граней у їхніх центрах)

радіус вписаної гіперсфери (що дотикається до всіх комірок у їхніх центрах) -

Заповнення простору

[ред. | ред. код]

Двадцятичотирьохкомірниками можна замостити чотиривимірний простір без проміжків і накладень.

Див. також

[ред. | ред. код]

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. George Olshevsky. Icositetrachoron // Glossary for Hyperspace.

Посилання

[ред. | ред. код]