Теорема Стюарта — метрична теорема в евклідової планіметрії .
Теорема Стюарта Якщо точка D лежить на стороні BC трикутника ABC, то
A D 2 = b 2 x a + c 2 y a − x y , {\displaystyle AD^{2}=b^{2}\,{\frac {x}{a}}+c^{2}\,{\frac {y}{a}}-xy,} де y = C D {\displaystyle y=CD} , і x = B D {\displaystyle x=BD} .
На малюнку точка D {\displaystyle D} є точкою перетину p {\displaystyle p} з B C {\displaystyle BC}
A B 2 = B D 2 + A D 2 − 2 A D ⋅ B D cos ∠ A D B {\displaystyle AB^{2}=BD^{2}+AD^{2}-2AD\cdot BD\cos \angle ADB}
A C 2 = A D 2 + D C 2 − 2 A D ⋅ D C cos ∠ A D C = A D 2 + D C 2 + 2 A D ⋅ D C cos ∠ A D B {\displaystyle AC^{2}=AD^{2}+DC^{2}-2AD\cdot DC\cos \angle ADC=AD^{2}+DC^{2}+2AD\cdot DC\cos \angle ADB}
Помноживши перше рівняння на D C {\displaystyle DC} ,а друге - на B D {\displaystyle BD} ,отримаємо:
A B 2 D C = B D 2 D C + A D 2 D C − 2 A D ⋅ B D ⋅ D C cos ∠ A D B {\displaystyle AB^{2}DC=BD^{2}DC+AD^{2}DC-2AD\cdot BD\cdot DC\cos \angle ADB}
A C 2 B D = A D 2 B D + D C 2 B D + 2 A D ⋅ D C ⋅ B D cos ∠ A D B {\displaystyle AC^{2}BD=AD^{2}BD+DC^{2}BD+2AD\cdot DC\cdot BD\cos \angle ADB}
Складемо рівняння:
A B 2 D C + A C 2 B D = B D 2 D C + A D 2 D C + A D 2 B D + D C 2 B D {\displaystyle AB^{2}DC+AC^{2}BD=BD^{2}DC+AD^{2}DC+AD^{2}BD+DC^{2}BD}
A D 2 ( D C + B D ) = A B 2 D C + A C 2 B D − B D 2 D C − D C 2 B D {\displaystyle AD^{2}(DC+BD)=AB^{2}DC+AC^{2}BD-BD^{2}DC-DC^{2}BD}
A D 2 ( D C + B D ) = A B 2 D C + A C 2 B D − B D ⋅ D C ( B D + D C ) {\displaystyle AD^{2}(DC+BD)=AB^{2}DC+AC^{2}BD-BD\cdot DC(BD+DC)}
A D 2 = A B 2 D C B D + D C + A C 2 B D B D + D C − B D ⋅ D C {\displaystyle AD^{2}={\frac {AB^{2}DC}{BD+DC}}+{\frac {AC^{2}BD}{BD+DC}}-BD\cdot DC}
Або :
A D 2 = A B 2 D C B C + A C 2 B D B C − B D ⋅ D C {\displaystyle AD^{2}={\frac {AB^{2}DC}{BC}}+{\frac {AC^{2}BD}{BC}}-BD\cdot DC}
Теорема названа по імені її сформулював і довів англійського математика М. Стюарта (Stewart Matthew: 1717, Ротсей , Шотландія — 1785, Единбург ) і опублікував її в праці «Деякі загальні теореми» (1746, Единбург). Теорему повідомив Стюарту його вчитель Роберт Сімсон , який опублікував цю теорему лише в 1749 р.
Теорему можна використовувати для знаходження медіан и бісектрис трикутників.
Наслідком теореми Стюарта є теорема Птолемея .
Теорема, обернена до теореми Стюарта, не вірна[ 1] .
Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, И. И. Юдина. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 9 класс. 4-ое изд. Изд-во Вита-Пресс, 2004. стр.53. В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, С. А. Шестаков, И. И. Юдина. Геометрия. Пособие для углубленного изучения математики. Изд-во ФИЗМАТЛИТ, 2005. 488 с. [Архівовано 17 червня 2010 у Wayback Machine .] стр.302-303. Мантуров О. В., Солнцев Ю. К. Толковый словарь математических терминов. Пособие для учителей. Под редакцией Диткина В. А. М.: Просвещение, 1965. 540с. Орос, В. М. Загадка теореми, оберненої до теореми Стюарта [Текст] / В. М. Орос // Математика в школах України. – 2016. – № 34-36. – С. 36–39.
Види трикутників Чудові лінії в трикутнику Чудові точки трикутника Основні теореми Додаткові теореми Узагальнення Інше