Numero trascendente

In matematica un numero trascendente è un numero irrazionale che non è un numero algebrico, ossia non è la soluzione di nessuna equazione polinomiale della forma:

${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0}$

dove ${\displaystyle n\geq 1}$ e i coefficienti ${\displaystyle a_{i}}$ sono razionali non tutti nulli. L'insieme dei numeri trascendenti non è chiuso rispetto all'addizione o al prodotto; infatti se ${\displaystyle a}$ è trascendente, così sarà ${\displaystyle -a}$, ma la loro somma, che è 0, è un numero algebrico; similmente per a e 1/a

L'insieme dei numeri algebrici è numerabile, mentre l'insieme di tutti i numeri reali è non numerabile; ciò implica che l'insieme dei numeri trascendenti è non numerabile, ovvero esistono infinitamente più numeri trascendenti che algebrici. Questo risultato fu dimostrato da Georg Cantor alla fine dell'Ottocento. Dimostrare che un dato numero è trascendente può essere molto difficile. La normalità, un'altra proprietà dei numeri, potrebbe aiutare a determinarne la trascendenza.

L'esistenza dei numeri trascendenti fu dimostrata per la prima volta nel 1844 da Joseph Liouville, che riuscì a costruire un'intera classe di numeri trascendenti, chiamati quindi numeri di Liouville; in particolare tra questi c'è la costante di Liouville:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}=0,110001000000000000000001000\ldots }$

di cui l'${\displaystyle n}$-esima cifra dopo la virgola è uguale a uno se ${\displaystyle n}$ è un fattoriale (per esempio 1, 2, 6, 24, 120, 720, ..., etc.) e 0 altrimenti. Il primo numero non appositamente costruito che si dimostrò essere trascendente è e; Charles Hermite ne diede la dimostrazione nel 1873. Nel 1882 Ferdinand von Lindemann pubblicò una dimostrazione basata sul precedente lavoro di Hermite della trascendenza di π. Nel 1874 Georg Cantor aveva dimostrato l'esistenza e la non-numerabilità dei numeri trascendenti.

La scoperta dei numeri trascendenti consentì la dimostrazione d'impossibilità di diversi antichi problemi geometrici riguardanti la costruzione con riga e compasso; la quadratura del cerchio, il più famoso tra questi problemi, è impossibile perché π è trascendente mentre tutti i numeri costruibili con riga e compasso sono algebrici.

• ${\displaystyle e^{a}}$ se ${\displaystyle a}$ è algebrico e diverso da 0. In particolare lo stesso numero e è trascendente (si veda una dimostrazione della trascendenza di e). Tale risultato è noto come teorema di Lindemann-Weierstrass.
• ${\displaystyle \pi }$, il pi greco (costante matematica).
• ${\displaystyle a^{b}}$ dove ${\displaystyle a}$ è algebrico diverso da 0 e da 1, e ${\displaystyle b}$ è algebrico, ma non razionale. Questo è il teorema di Gel'fond che risolve il settimo problema di Hilbert. Da questo teorema discende la trascendenza del numero
  • ${\displaystyle e^{\pi }}$ chiamato costante di Gel'fond in quanto ${\displaystyle e^{\pi }={\frac {1}{e^{-\pi }}}={\frac {1}{i^{2i}}}}$, e ${\displaystyle i^{2i}}$ è trascendente;
  • ${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$.
• Le funzioni trigonometriche ${\displaystyle \sin(a)}$, ${\displaystyle \cos(a)}$, ${\displaystyle \tan(a)}$, ${\displaystyle \cot(a)}$, ${\displaystyle \sec(a)}$, ${\displaystyle \csc(a)}$ per ${\displaystyle a}$ algebrico (escludendo casi banali come ${\displaystyle \sin(0)=0}$), in base al teorema di Lindemann-Weierstrass.
• il logaritmo naturale ${\displaystyle \ln a}$, se ${\displaystyle a}$ è un numero razionale positivo diverso da 1, ancora per il teorema di Lindemann-Weierstrass.
• ${\displaystyle \Gamma (1/3)}$, ${\displaystyle \Gamma (1/4)}$ e ${\displaystyle \Gamma (1/6)}$ (vedi funzione gamma).
• ${\displaystyle \Omega }$ la costante di Chaitin.
• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }10^{-\lfloor \beta ^{k}\rfloor };\qquad \beta >1,}$

dove ${\displaystyle \beta \mapsto \lfloor \beta \rfloor }$ è la funzione parte intera. Per esempio se ${\displaystyle \beta =2}$ allora questo numero è 0,11010001000000010000000000000001000...

• la funzione zeta di Riemann ${\displaystyle \zeta (n)}$ per ${\displaystyle n}$ pari, in quanto trattasi di multipli razionali di ${\displaystyle \pi }$.

È stato congetturato che altri numeri come ${\displaystyle \zeta (n)}$ per ${\displaystyle n}$ dispari o la costante di Eulero-Mascheroni ${\displaystyle \gamma }$ siano trascendenti, ma non è stato ancora dimostrato che lo siano.

• Alberto Zanardo, La struttura dei numeri reali: costruzione e proprietà (PDF), p. 28.

• Estensione algebrica

• Numero trascendente, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) transcendental number, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Opere riguardanti Transcendental numbers, su Open Library, Internet Archive.
• (EN) Eric W. Weisstein, Transcendental Number, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Transcendental number, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
• Dimostrazione della trascendenza di ${\displaystyle e}$ Archiviato il 15 agosto 2011 in Internet Archive. da PlanetMath
• Numeri trascendenti su progettomatematica.dm.unibo.it

V · D · M Algebra
Numeri	Naturali · Interi · Razionali · Irrazionali · Algebrici · Trascendenti · Reali · Complessi · Numero ipercomplesso · Numero p-adico · Duali · Complessi iperbolici
Principi fondamentali	Principio d'induzione · Principio del buon ordinamento · Relazione di equivalenza · Relazione d'ordine · Associatività della potenza
Algebra elementare	Equazione · Disequazione · Polinomio · Triangolo di Tartaglia · Teorema binomiale · Teorema del resto · Lemma di Gauss · Teorema delle radici razionali · Regola di Ruffini · Criterio di Eisenstein · Criterio di Cartesio · Disequazione con il valore assoluto · Segno · Metodo di Gauss-Seidel · Polinomio simmetrico · Funzione simmetrica
Elementi di Calcolo combinatorio	Fattoriale · Permutazione · Disposizione · Combinazione · Dismutazione · Principio di inclusione-esclusione
Concetti fondamentali di Teoria dei numeri	Primi Numero primo · Teorema dell'infinità dei numeri primi · Crivello di Eratostene · Crivello di Atkin · Test di primalità · Teorema fondamentale dell'aritmetica Divisori Interi coprimi · Identità di Bézout · MCD · mcm · Algoritmo di Euclide · Algoritmo esteso di Euclide · Criteri di divisibilità · Divisore Aritmetica modulare Teorema cinese del resto · Piccolo teorema di Fermat · Teorema di Eulero · Funzione φ di Eulero · Teorema di Wilson · Reciprocità quadratica
Teoria dei gruppi	Gruppi Gruppo (finito · ciclico · abeliano) · Gruppo primario · Gruppo quoziente · Gruppo nilpotente · Gruppo risolubile · Gruppo simmetrico · Gruppo diedrale · Gruppo semplice · Gruppo sporadico · Gruppo mostro · Gruppo di Klein · Gruppo dei quaternioni · Gruppo generale lineare · Gruppo ortogonale · Gruppo unitario · Gruppo unitario speciale · Gruppo residualmente finito · Gruppo spaziale · Gruppo profinito · Out(Fn) · Parola · Prodotto diretto · Prodotto semidiretto · Prodotto intrecciato Teoremi Alternativa di Tits · Teorema di isomorfismo · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teoremi di Sylow · Teorema di Cayley · Teorema di struttura dei gruppi abeliani finiti · Lemma della farfalla · Lemma del ping-pong · Classificazione dei gruppi semplici finiti Sottoinsiemi Sottogruppo · Sottogruppo normale · Sottogruppo caratteristico · Sottogruppo di Frattini · Sottogruppo di torsione · Classe laterale · Classe di coniugio · Serie di composizione Omomorfismo · Isomorfismo · Automorfismo interno · Automorfismo esterno · Permutazione · Presentazione di un gruppo · Azione di gruppo
Teoria degli anelli	Anello (artiniano · noetheriano · locale) · Caratteristica · Ideale (primo · massimale) · Dominio (a fattorizzazione unica · a ideali principali · euclideo) · Matrice · Anello semplice · Anello degli endomorfismi · Teorema di Artin-Wedderburn · Modulo · Dominio di Dedekind · Estensione di anelli · Teorema della base di Hilbert · Anello di Gorenstein · Base di Gröbner · Prodotto tensoriale · Primo associato
Teoria dei campi	Campo · Polinomio irriducibile · Polinomio ciclotomico · Teorema fondamentale dell'algebra · Campo finito · Automorfismo · Endomorfismo di Frobenius Estensioni Campo di spezzamento · Estensione di campi · Estensione algebrica · Estensione separabile · Chiusura algebrica · Campo di numeri · Estensione normale · Estensione di Galois · Estensione abeliana · Estensione ciclotomica · Teoria di Kummer Teoria di Galois Gruppo di Galois · Teoria di Galois · Teorema fondamentale della teoria di Galois · Teorema di Abel-Ruffini · Costruzioni con riga e compasso
Altre strutture algebriche	Magma · Semigruppo · Corpo · Spazio vettoriale · Algebra su campo · Algebra di Lie · Algebra differenziale · Algebra di Clifford · Gruppo topologico · Gruppo ordinato · Quasi-anello · Algebra di Boole
argomenti	Teoria delle categorie · Algebra lineare · Algebra commutativa · Algebra omologica · Algebra astratta · Algebra computazionale · Algebra differenziale · Algebra universale

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica