正規直交系

この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。 出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "正規直交系" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL (2022年3月)

線型代数学並びに関数解析学における正規直交系（せいきちょっこうけい、英: orthonormal system、ONS）は互いに直交しかつそのノルムが1に規格化されたベクトルの集まりである。

特に、正規直交系が完全系（任意のベクトルが正規直交系によって展開可能）である場合には、完全正規直交系（英: complete orthonormal system）または正規直交基底と呼ばれ、CONSと表される。ヒルベルト空間論の基礎的な概念であるとともに、正規直交系に基づく展開原理は物理学、工学への応用において重要となる。

内積 ⟨•, •⟩ を有するベクトル空間 ${\displaystyle V}$（内積空間）において、ベクトル ${\displaystyle x\in V}$ の集合 ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ が互いに直交する、すなわち内積について

${\displaystyle \langle x_{m},x_{n}\rangle =0\quad (m\neq n)}$

が成り立つとき、${\displaystyle \{x_{n}\}}$ は直交系（英: orthogonal system）であるという。

直交系 ${\displaystyle \{e_{n}\}}$ が内積で定まるノルムについて規格化されている（||e_n||=1）、すなわち、

${\displaystyle \langle e_{m},e_{n}\rangle =\delta _{mn}}$

であるとき、${\displaystyle \{e_{n}\}}$ は正規直交系であるという。ただし、δ_mn はクロネッカーのデルタである。

有限個または可算個の一次独立なベクトル {x_n} が存在する場合、グラム・シュミットの正規直交化法により、{x_n} から正規直交系を具体的に構成することができる。

内積で定まるノルムについて完備であるヒルベルト空間を論ずる際において、正規直交系は重要な役割を果たす。ヒルベルト空間において、正規直交系 {e_n} が完全系である、すなわち

${\displaystyle \langle x,e_{n}\rangle =0\quad \forall n\Longrightarrow x=0}$

を満たすとき、{e_n} は完全正規直交系、または正規直交基底であるという。完全正規直交系においては、任意のベクトルx に対し、

${\displaystyle x=\sum _{n}\langle x,e_{n}\rangle e_{n}}$

という展開が可能となる。ただし、無限列についてはノルムに関する収束を表すものとする。

任意のヒルベルト空間において、完全正規直交系は存在するが、特に可分なヒルベルト空間であれば、高々可算個からなる完全正規直交系が存在する^{[注釈 1]}。

完全正規直交系の性質を特徴付ける定理として、次の同値性が成り立つ。

定理

ヒルベルト空間 H の正規直交系 {e_n} に対し、以下は同値となる。

1. {e_n} が完全正規直交系をなす。
2. {e_n} の一次結合全体が H で稠密である。
3. （フーリエ級数） 任意の x ∈H について、

   ${\displaystyle x=\sum _{n}\langle x,e_{n}\rangle e_{n}}$

   が成り立つ。
4. （リース・フィッシャーの等式） 任意の x ∈H について、

   ${\displaystyle \|x\|^{2}=\sum _{n}|\langle x,e_{n}\rangle |^{2}}$

   が成り立つ。
5. （パーセバルの等式） 任意の x, y ∈H について、

   ${\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{n}\langle x,e_{n}\rangle \langle e_{n},y\rangle }$

   が成り立つ。

自乗総和可能数列空間の基底

n 番目の成分だけ 1 でそれ以外を 0 とする数列

${\displaystyle e_{n}=(0,0,\dots ,0,1,0,\dots )\quad (n=1,2,\dots )}$

で与えられる {e_n} は l² 空間の完全正規直交系である。

三角関数系

定数関数 1/√2π と三角関数の列

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}},\,{\frac {\cos {\pi t}}{\sqrt {\pi }}},\,{\frac {\sin {\pi t}}{\sqrt {\pi }}},\,{\frac {\cos {2\pi t}}{\sqrt {\pi }}},\,{\frac {\sin {2\pi t}}{\sqrt {\pi }}},\dots }$

からなる {1/√2π, cos(nπt)/√π, sin(nπt)/√π }_n=1,2,… は、L²([−π, π]) で完全正規直交系である。

正弦関数系

正弦関数の列

${\displaystyle {\frac {\sin {\pi t}}{\sqrt {\pi }}},\,{\frac {\sin {2\pi t}}{\sqrt {\pi }}},\,{\frac {\sin {3\pi t}}{\sqrt {\pi }}},\dots }$

からなる { sin(nπt)/√π }_n=1,2,… は、L²([−π,π]) で正規直交系をなすが、完全系ではない。実際、偶関数は { sin(nπt)/√π }_n=1,2,… では展開できない。

ラーデマッハ関数系

区間 [0, 1] 上でラーデマッハ関数（英語版）は、

${\displaystyle r_{n}(t)=\operatorname {sgn} (\sin {2^{n}\pi t})\quad (n=0,1,2,\dots )}$

で定義される。{r_n(t)} は L²([0, 1]) で正規直交系であるが、完全系ではない。

→詳細は「グラム・シュミットの正規直交化法」を参照

グラム・シュミットの正規直交化法を応用することで、一次独立なベクトルの集合から正規直交系を構成することができる。

→詳細は「直交多項式」を参照

ルジャンドル多項式

区間 [−1, 1] 上の関数列

${\displaystyle 1,t,t^{2},\dots }$

を L²([−1, 1]) で正規直交化することで、

${\displaystyle p_{n}(t)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\biggl (}n+{\frac {1}{2}}{\biggr )}^{1/2}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}(t^{2}-1)^{n}\quad (n=0,1,2,\dots )}$

からなる正規直交系 {p_n(t)} を得る。これはルジャンドル多項式 P_n(t) に規格化定数 (n + 1/2)^1/2 を乗じた直交多項式である:

${\displaystyle p_{n}(t)={\biggl (}n+{\frac {1}{2}}{\biggr )}^{1/2}P_{n}(t)}$

エルミート多項式

R 上で一次独立な

${\displaystyle e^{-t^{2}/2},te^{-t^{2}/2},t^{2}e^{-t^{2}/2},\dots }$

を L²(R) で正規直交化することで、

${\displaystyle h_{n}(t)={\frac {1}{\sqrt {n!{\sqrt {2\pi }}}}}(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}e^{-t^{2}/2}\quad (n=0,1,2,\dots )}$

からなる正規直交系 {h_n(t)} を得る。これはエルミート多項式 H_n(t) に (2π)^−1/4(n!)^−1/2e^−t2/2 を乗じた関数系である;

${\displaystyle h_{n}(t)={\frac {1}{\sqrt {n!{\sqrt {2\pi }}}}}e^{-t^{2}/2}H_{n}(t)}$

ラゲール多項式

[0, ∞) で一次独立な

${\displaystyle e^{-t/2},te^{-t/2},t^{2}e^{-t/2},\dots }$

を L²([0, ∞)) で正規直交化することで、正規直交系

${\displaystyle l_{n}(t)={\frac {1}{n!}}e^{t/2}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}(e^{-t}t^{n})\quad (n=0,1,2,\dots )}$

を得る。{l_n(t)} はラゲール多項式 L_n(t) に e^−t/2 を乗じた関数系である;

${\displaystyle l_{n}(t)=e^{-t/2}L_{n}(t)}$

• 藤田宏; 伊藤清三; 黒田成俊『関数解析（岩波基礎数学選書）』岩波書店、1991年。ISBN 978-4000078108。 
• 吉田耕作; 河田敬義; 岩村聯『位相解析の基礎』岩波書店、1960年。ISBN 4000050257。 

• 基底 - 正規直交基底
• 関数解析 - ヒルベルト空間
• フーリエ級数

表 話 編 歴 線型代数学・行列解析
連立一次方程式	ガウスの消去法 クラメルの公式 ガウス＝ザイデル法 ヤコビ法
ベクトル	線型独立 線型結合 基底 双対基底
ベクトル空間	双対空間 核空間 固有空間 広義固有空間 線型包 行空間 列空間 次元
計量ベクトル空間	ドット積 コーシー＝シュワルツの不等式 直交 正規直交系 正規直交基底 グラム・シュミットの正規直交化法 直交補空間
行列・線型写像	演算・操作 乗法 転置 逆行列 サラスの方法 基本変形 対角化 分解 LU QR コレスキー シューア 特異値 固有値 不変量 行列式 跡 階数 固有値と固有ベクトル 固有多項式 最小多項式 単因子 階数標準形 スミス標準形 ジョルダン標準形 有理標準形 小行列式 クラス 正則 基本 対称 エルミート 正規 直交 回転 ユニタリ 冪零 射影 正定値 ユニモジュラー 置換 区分
行列式	余因子展開 余因子行列 ヴァンデルモンドの行列式 終結式 コーシー・ビネの公式
多重線型代数	外積 外積代数 対称代数 テンソル代数
数値線形代数	基本的な概念 浮動小数点 数値的安定性 疎行列 Z-行列 M行列 条件数 ゲルシュゴリンの定理 クリロフ部分空間 ソフトウェア MATLAB 数値解析ソフトの比較/一覧 ライブラリ Armadillo Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS) INTLAB Intel oneAPI Math Kernel Library LAPACK NumPy OpenBLAS 線型代数学ライブラリの比較 反復法・技法 SOR法 共役勾配法 GMRES法 固有値問題の数値解法 ランチョス法 QR法 べき乗法 逆べき乗法 ヤコビ法 (固有値問題) シュトラッセンのアルゴリズム ハウスホルダー変換 ギブンス回転 人物 ジェームズ・H・ウィルキンソン クリーブ・モラー ニコラス・ハイアム ジーン・ゴラブ リチャード・バルガ
行列値関数	行列指数関数 行列の対数 行列の平方根
その他	スカラー ケイリー・ハミルトンの定理 ペロン＝フロベニウスの定理 シューア補行列 シルヴェスターの慣性法則
カテゴリ

この項目は、線型代数学に関連した書きかけの項目です。この項目を加筆・訂正などしてくださる協力者を求めています。

• 表示
• 編集