Integral – Wikipédia, a enciclopédia livre
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Cálculo |
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Cálculo especializado |
No cálculo, a integral[nota 1] de uma função foi criada originalmente para determinar a área sob uma curva no plano cartesiano[1] e também surge naturalmente em dezenas de problemas da física, por exemplo na determinação da posição em todos os instantes de um objeto, se for conhecida a sua velocidade instantânea em todos os instantes.[carece de fontes]
Diferentemente da noção associada de derivação, existem várias definições para a integração, todas elas visando a resolver alguns problemas conceituais relacionados a limites, continuidade e existência de certos processos utilizados na definição. Estas definições diferem porque existem funções que podem ser integradas segundo alguma definição, mas não podem segundo outra.[1]
O processo de se calcular a integral de uma função é chamado de integração.[2] A integral indefinida também é conhecida como antiderivada ou primitiva.
Definição formal e notação
[editar | editar código-fonte]Integral definida
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Seja uma função contínua definida no intervalo A integral definida desta função é denotada comː[3]
Em linguagem matemática | Em português |
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é a integral da função no intervalo entre e é o sinal da integral, é o integrando e os pontos e são os limites (inferior e superior, respectivamente) de integração. | |
Onde | é uma função com domínio no espaço fechado [a,b] (com ) e com imagem no conjunto dos números reais |
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A ideia desta notação utilizando um S comprido é generalizar a noção de somatório[4]. Isto porque, intuitivamente, a integral de sobre o intervalo pode ser entendida como a soma de pequenos retângulos de base tendendo a zero e altura onde o produto é a área deste retângulo. A soma de todas estas pequenas áreas (áreas infinitesimais), fornece a área entre a curva e o eixo das abscissas. Mais precisamente, pode-se dizer que a integral acima é o valor limite da soma:[3]
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Em linguagem matemática | Em português |
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A integral de no intervalo [a,b] é igual ao limite do somatório de cada um dos valores que a função f(x) assume, de 0 a n, multiplicados por O que se espera é que quando n for muito grande o valor da soma acima se aproxime do valor da área abaixo da curva e, portanto, da integral de no intervalo. Ou seja, que o limite esteja definido. A definição de integral aqui apresentada é chamada de soma de Riemann, mas há outras formas (equivalentes). | |
onde | Comprimento dos pequenos subintervalos nos quais se divide o intervalo [a,b]. Os extremos destes intervalos são os números |
onde | Equivale a um ponto num intervalo de até da função quando o valor do número de termos tende a infinito ou equivalentemente quando o valor de tende a 0,nesse caso a letra define o enésimo termo de uma sequência infinita ligada aos valores que cada assumirá. |
onde | Valor ("altura") da função quando x é igual ao ponto amostral definido como um ponto que está no subintervalo (podendo até mesmo ser um destes pontos extremos do subintervalo). |
Uma integral definida pode ser própria ou imprópria, convergente ou divergente. Neste último caso, ela representa uma área infinita.
Integral indefinida
[editar | editar código-fonte]A integral indefinida de é a função (ou família de funções) definida porː[5][6]
em que é uma constante indeterminada e é uma antiderivada ou primitiva de i.e. A notação é lida como: a integral de em relação a
É importante saber-se distinguir a integral definida da integral indefinida. Uma integral definida é um número, enquanto uma integral indefinida é uma função (ou uma família de funções). Como consideramos a integral como uma antiderivada, ou seja, o inverso da derivada, colocamos a constante pois a derivada da constante resulta em restando assim apenas a derivada de que nada mais é do que a própria função Logo, temos uma primitiva para cada valor de .[7]
Teorema Fundamental do Cálculo
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O Teorema Fundamental do Cálculo estabelece que se for contínua em entãoː[8]
onde, é uma antiderivada de
De forma mais geral, este teorema afirma que se é uma função contínua em um intervalo então, para qualquer temos que:
é uma antiderivada de definida para todo Ou seja:
Seja é uma função não-negativa definida em um intervalo e Para cada ponto a área sob o gráfico de restrita ao intervalo é função de i.e. Neste caso, como consequência do Teorema Fundamental do Cálculo temos que a derivada da área é igual a função i.e. .
Cálculo de integrais
[editar | editar código-fonte]O teorema fundamental do cálculo fornece a principal ferramenta para o cálculo de integrais, pois ao conhecer uma função cuja derivada é igual ao integrando , obtém-se a integral, que é igual a somada a uma constante que independe de . Tal constante é tradicionalmente adicionada após o término do cálculo da parte da integral que independe de . Valendo-se também que a integral da soma de duas funções é a soma das respectivas integrais e que a integral de uma função multiplicada por uma constante é a constante que multiplica a integral da função, pode-se compilar uma lista de integrais relacionadas às funções mais fundamentais, como polinômios, funções trigonométricas, a função exponencial e a função logarítmica. Por exemplo, a derivada da função é . Portanto, como é antiderivada de , temos (omitindo a constante aditiva por conveniência) que:
Utilizando a propriedade de que a constante 2 em "2x" pode ser "retirada para fora" da integral, podemos escrever que:
Esse argumento pode ser repetido para outras potências de , como , , etc. Em geral, a função tem como derivada , sendo um número real diferente de -1 (pois o denominador da fração não pode ser nulo). Logo, temos a integral de qualquer potência de (à exceção de ):
Cálculo de integrais definidas
[editar | editar código-fonte]Suponhamos uma função e duas funções em escada e onde para todo Como as funções em escada possuem áreas definidas como retângulos, podemos achar funções em escada que formem retângulos com a bases cada vez mais estreitas, assim a soma das áreas dos retângulos se aproximam cada vez mais da área de Portanto, temos que
Onde e são os intervalos de integração. A base de cada retângulo de e é dada por
onde n é um número inteiro positivo que representa o número de retângulos, ou o número de subintervalos de A área de cada retângulo é dada pelo produto entre sua base e sua altura. Portanto temos a área de cada retângulo:
onde é um número inteiro positivo, que representa o subintervalo, ou seja, O nos dá a posição no eixo de cada subintervalo.
Já que e são funções em escada, pela relação temos que Portanto
Isso significa que a integral de qualquer função de área mensurável está entre a área de todos os retângulos superiores e retângulos inferiores. Portanto, a área de qualquer função obedece à equação acima.
Pelas duas equações anteriores fica claro a razão da integral ser denotada com um ele significa um intervalo (retângulo) infinitesimal, que surge quando tende ao infinito.
Integral de polinômios
[editar | editar código-fonte]Começando pela desigualdade[9][10]
Multiplicamos todos os termos por
Fazendo e para ficamos com
Portanto
Podemos, fazendo uso da propriedade aditiva das integrais,[9] generalizar para todo intervalo
Que também pode ser escrito como:
Exemplo de integração de polinômios
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Pelas propriedades das integrais, a constante fica fora da integral, portanto obtemos
Passo-a-Passo
[editar | editar código-fonte]Fórmula das Primitivas
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Exemplo:
Cada membro da função é tratado como uma função em separado, para em seguida ser efetuada a soma entre eles e gerar outra função, a função na qual se substitui o valor de X pelos valores do intervalo. Feito isso, usa-se o teorema do cálculo para chegar ao valor da integral.
- No intervalo (0,3)
Aqui usa-se a Fórmula da Primitiva em cada integral.
Gera-se a outra função, que será usada para substituir os valores do intervalo.
Para x = 0
Para x = 3
Aplicação do teorema fundamental do Cálculo
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Exemplos de integração
[editar | editar código-fonte]Estas são as integrais de algumas das funções mais comuns:
(Integral da função constante) (Integral da função f(x) = x )
Por definição a barra é utilizada com o significado da diferença
Aplicações de integrais na Física
[editar | editar código-fonte]Uma das mais famosas aplicações das integrais é no conceito físico de trabalho. Na Física, o trabalho é definido como a quantidade de energia transferida ao aplicar-se uma força produzindo um deslocamento. Matematicamente, o trabalho realizado por uma força constante é expresso pela equaçãoː[11]
Onde é o trabalho (medido em Joules), a força (medida em newtons) e o deslocamento (medido em metros). Portanto, se temos uma força não constante, que varia em função da posição, temos que somar cada quantidade de trabalho produzida pela força em um deslocamento infinitesimal. Assim podemos integrar a força em relação ao deslocamentoː[12]
onde é a força em função da posição, e representa um deslocamento infinitesimal. Com base nas definições de integral, fica claro que esta integral representa a soma de cada trabalho exercido por uma força em deslocamentos infinitesimais.
Exemplo
[editar | editar código-fonte]Suponhamos que para mover uma partícula se aplica uma força dada pela função[12]
onde é a posição da partícula. Para calcularmos o trabalho realizado ao mover a partícula da posição até à posição integramos a função em relação à posição:
Integrais em coordenadas polares
[editar | editar código-fonte]A integral pode ser generalizada para funções polares considerando funções polares em escada assim como na integral de funções em coordenadas cartesianas.[13] Definindo uma função polar e duas funções polares em escada e que dividem a área sob em subintervalos abertos tal que temos cada subintervalo de como um arco de circunferência de raio e de ângulo radianos (o mesmo para ). Através da equação do arco de circunferência,[14] temos que a área de cada subintervalo de é dada por
e de por
Logo, as áreas sob e são dadas pelo somatório da área de cada subintervalo, o que é dado pelas integrais
Em que representa um intervalo infinitesimal. Por conseguinte temos as desigualdades
Logo
E esta é a definição da integral de uma função polar.
Definições de integral
[editar | editar código-fonte]Para definições do processo de integração mais rigorosas veja os links abaixo:
- Integral de Riemann
- Integral de Lebesgue
- Integral de Riemann-Stieltjes
- Integral de Henstock–Kurzweil ou integral de Gauge
Ver também
[editar | editar código-fonte]Notas
- ↑ Em Portugal, a comunidade técnica utiliza integral como nome masculino. Por exemplo: o integral de f (x) em [a, b].
Referências
- ↑ a b Charles Doss, An Introduction to the Lebesgue Integral, [em linha]
- ↑ John Radford Young, The Elements of the Integral Calculus: With Its Applications to Geometry and to the Summation of Infinite Series. Intended for the Use of Mathematical Students in Schools and Universities (1839), Section I, On the Integration of Differential Expressions of a Single Variable, Chapter I, Fundamental Principles of Integration, p.1 [google books]
- ↑ a b Stewart (2002), p. 378.
- ↑ W3C (2006), Arabic mathematical notation (em inglês)
- ↑ Piskounov, Nikolai Semenovich; Cálculo Diferencial e Integral; Edições Lopes da Silva; 12ª edição, 2002; 2 vols.
- ↑ Stewart (2002), p. 401.
- ↑ Stewart, James. Cálculo - Volume 1. [S.l.: s.n.] 360 páginas
- ↑ Howard, Anton (2009). Cálculo - Volume 1 8 ed. [S.l.]: Bookman. ISBN 9788560031634
- ↑ a b Apostol, Tom. Cálculo, volume 1. [S.l.: s.n.]
- ↑ «Prove a formula for b^p - a^p and a resulting inequality - Stumbling Robot». Stumbling Robot (em inglês). 10 de julho de 2015
- ↑ Stewart, James. Cálculo - Volume 1. [S.l.: s.n.] 404 páginas
- ↑ a b Stewart, James. Cálculo - Volume 1. [S.l.: s.n.] 405 páginas
- ↑ Apostol, Tom. Cálculo - Volume 1. [S.l.: s.n.] 131 páginas
- ↑ «Área do setor circular». Brasil Escola. Consultado em 16 de junho de 2018