Dimensione topologica
In matematica, la dimensione topologica o di Lebesgue è una nozione di dimensione che si applica a qualsiasi spazio topologico.
Come la dimensione di Hausdorff, la dimensione topologica dello spazio euclideo è . Le due nozioni di dimensione però differiscono per spazi più complicati, come i frattali.
Definizione
[modifica | modifica wikitesto]Sia uno spazio topologico. Un ricoprimento aperto di è una collezione di aperti di la cui unione è tutto . Un suo raffinamento è un altro ricoprimento aperto tale che ogni è contenuto in almeno un .
La dimensione topologica di è il più piccolo intero per cui ogni ricoprimento aperto di ha un raffinamento in cui ogni punto è contenuto in al più insiemi.
Esempi
[modifica | modifica wikitesto]Retta reale
[modifica | modifica wikitesto]Sia un ricoprimento arbitrario della retta reale . Ciascun è un aperto ed è quindi unione di intervalli aperti. Si può sempre trovare un raffinamento fatto solo di intervalli aperti. Si può inoltre raffinare ulteriormente questo ricoprimento e fare in modo che questi intervalli si sovrappongano meno possibile, e cioè che tre intervalli non si intersechino mai. Da questa costruzione segue che la retta ha dimensione minore o uguale a D'altra parte, la retta è connessa e quindi non può essere descritta come unione disgiunta di piccoli intervalli: non ha cioè dimensione zero. La retta ha quindi dimensione topologica
Spazi euclidei
[modifica | modifica wikitesto]Più in generale, lo spazio ha dimensione topologica . La nozioni di dimensione di Hamel, topologica e di Hausdorff quindi coincidono per gli spazi vettoriali reali.
Grafi
[modifica | modifica wikitesto]Un grafo avente un numero finito di vertici e spigoli ha dimensione topologica
Frattali
[modifica | modifica wikitesto]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/52/Menger-Schwamm-farbig.png/220px-Menger-Schwamm-farbig.png)
L'insieme di Cantor ha dimensione topologica zero. Ha però dimensione di Hausdorff positiva, pari a .
La spugna di Menger ha dimensione topologica uno. La spugna è una curva universale: ogni spazio metrico compatto di dimensione topologica 1 è contenuto in essa.
Bibliografia
[modifica | modifica wikitesto]- Karl Menger, General Spaces and Cartesian Spaces, (1926) Communications to the Amsterdam Academy of Sciences. English translation reprinted in Classics on Fractals, Gerald A.Edgar, editor, Addison-Wesley (1993) ISBN 0-201-58701-7
- Karl Menger, Dimensionstheorie, (1928) B.G Teubner Publishers, Leipzig.
- A. R. Pears, Dimension Theory of General Spaces, (1975) Cambridge University Press. ISBN 0-521-20515-8
- V.V. Fedorchuk, The Fundamentals of Dimension Theory, appearing in Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Volume 17, General Topology I, (1993) A. V. Arkhangel'skii and L. S. Pontryagin (Eds.), Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-18178-4.