Topologia degli interi equispaziati

In topologia generale, una branca della matematica, la topologia degli interi equispaziati è la topologia sull'insieme dei numeri interi generata dalla famiglia delle progressioni aritmetiche.^[1] Questa particolare topologia è stata introdotta da Fürstenberg nel 1955 per provare l'infinità dei numeri primi.

Per ogni coppia di interi ${\displaystyle a,b}$ poniamo ${\displaystyle a\mathbb {Z} +b:=\{an+b:n\in \mathbb {Z} \}}$, allora la topologia ${\displaystyle \tau }$ degli interi equispaziati è la topologia di ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ che ha come base ${\displaystyle \{a\mathbb {Z} +b:a,b\in \mathbb {Z} {\mbox{ con }}a\neq 0\}}$. In altri termini gli aperti di ${\displaystyle \tau }$ sono tutti e soli gli insiemi che sono unione di insiemi del tipo ${\displaystyle a\mathbb {Z} +b}$ con ${\displaystyle a,b}$ interi e ${\displaystyle a\neq 0}$.

Lo spazio topologico ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,\tau )}$ ha alcune interessanti proprietà:

• L'insieme ${\displaystyle a\mathbb {Z} +b}$ è chiuso-aperto per ogni ${\displaystyle a,b}$ interi con ${\displaystyle a\neq 0}$; usando ciò si può dimostrare il teorema dell'infinità dei numeri primi, infatti detto ${\displaystyle \mathbb {P} }$ l'insieme dei primi si ha

${\displaystyle \mathbb {Z} \setminus \{-1,+1\}=\bigcup _{p\in \mathbb {P} }(p\mathbb {Z} +0)}$

se per assurdo i primi fossero finiti allora il secondo membro sarebbe chiuso, quindi ${\displaystyle \{-1,1\}}$ sarebbe aperto ma cioè non è possibile poiché chiaramente non è unione di insiemi del tipo ${\displaystyle a\mathbb {Z} +b}$ con ${\displaystyle a,b}$ interi e ${\displaystyle a\neq 0}$, essendo un insieme finito.

• ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,\tau )}$ è totalmente disconnesso, non è né compatto né localmente compatto, è metrizzabile e una sua metrica è quella indotta dalla norma

${\displaystyle \|x\|:=\inf _{n\in \mathbb {N} ^{+}}\left\{{\frac {1}{n}}\,:\,n!\;{\mbox{ divide }}\;x\right\}}$

• Harry Fürstenberg, On the infinitude of primes, in American Mathematical Monthly, vol. 62, n. 5, Mathematical Association of America, 1955, pp. 353, DOI:10.2307/2307043, JSTOR 2307043.
• L. A. Steen e J. A. Seebach, Counterexamples in Topology, Dover, 1995, pp. 80–81, ISBN 0-486-68735-X.

V · D · M Topologia
Concetti di Topologia generale	Spazio topologico · Base · Prebase · Ricoprimento · Assiomi di chiusura di Kuratowski · Invariante topologico · Relazione di finezza · Partizione dell'unità · Proprietà dell'intersezione finita Sottoinsiemi Intervallo · Aperto · Intorno · Chiuso · Insieme localmente chiuso · Insieme chiuso-aperto · Parte interna · Chiusura · Frontiera · Insieme derivato · Insieme limite · Insieme perfetto · Insieme denso · Insieme mai denso Punti Punto isolato · Punto di accumulazione · Punto di aderenza Funzioni Funzione continua · Omeomorfismo · Funzione aperta · Funzione chiusa · Funzione propria · Contrazione · Retrazione · Germe di funzione · Funzione a supporto compatto Successioni Limite · Limite di una successione · Successione · Rete · Convergenza · Successione di Cauchy Teoremi Teorema di Weierstrass · Heine-Borel · Tichonov · Lemma del tubo · Urysohn · Tietze · Baire · Brouwer · punto fisso · Teorema di Borsuk · Teorema di Borsuk-Ulam · Teorema della curva di Jordan · Teorema della mappa di Riemann Applicazioni pratiche Topologia dello spazio-tempo · Teoria quantistica dei campi topologica · K-teoria ritorta · Topologia di rete · Controllo della topologia · Topologia molecolare
Spazi topologici	Topologie classiche Topologia banale · Spazio di Sierpiński · Cofinita · Topologia della semicontinuità inferiore · di Zariski · Euclidea · del limite inferiore o di Sorgenfrey · Discreta · Topologia degli interi equispaziati · Insieme reale esteso · Topologia di ordine · Piano di Moore · Topologia p-adica Costruzioni topologiche Topologia prodotto · Topologia di sottospazio · Topologia quoziente · Compattificazione (di Alexandrov · di Stone-Čech) · Cono · Bouquet · Rosa · Sospensione Topologie in Analisi funzionale Spazio funzionale · Topologia iniziale o debole · Topologia operatoriale · Topologia finale o forte · Topologia di Mackey · Topologia polare · Topologie operatoriali debole e forte Altri oggetti topologici Sfera · Palla · Toro · Corpo con manici · Bottiglia di Klein · Bottiglia di Klein solida · Anello · Nastro di Möbius · Retta proiettiva · Piano proiettivo · Superficie di Riemann · Nodo · Nodo torico · Link Frattali Insieme di Cantor · Spazio di Cantor · Polvere di Cantor · Spugna di Menger · Sfera di Alexander · Curva di Peano · Laghi di Wada Strutture miste Spazio vettoriale topologico · Gruppo topologico · Gruppo di Lie · Spazio uniforme · Algebra di Borel
Proprietà degli spazi topologici	Numerabilità Assioma di numerabilità · Spazio primo-numerabile · Spazio separabile · Spazio sequenziale Separazione Assioma di separazione · Spazio T0 · Spazio T1 · Spazio di Hausdorff · Spazio regolare · Spazio di Tichonov · Spazio normale Compattezza Spazio compatto · Spazio paracompatto · Spazio localmente compatto · Spazio di Lindelöf · Sottospazio relativamente compatto · Immersione compatta Connessione Spazio connesso · Spazio semplicemente connesso Metrizzabilità Spazio metrico · Spazio metrico completo · Spazio metrizzabile · Spazio ultrametrico · Spazio pseudometrico · Spazio polacco · Spazio normato · Spazio totalmente limitato Altre proprietà Spazio di Baire · Spazio topologico noetheriano · Spazio omogeneo · Orientazione
Topologia differenziale	Varietà (differenziabile · parallelizzabile · 3-varietà · 3-varietà irriducibile) · Atlante · Diffeomorfismo (locale · di Anosov) · Immersione · Curva · Superficie · Campo vettoriale · Fibrato (principale · vettoriale · Varietà fibrata) · Fibrato tangente · Spazio tangente · Fibrazione di Hopf · Varietà con bordo · Teorema dell'intorno tubolare · Somma connessa · Teorema di Kneser-Milnor · Congettura di geometrizzazione di Thurston · Cobordismo · Dimensione topologica · Topologia in dimensione bassa · Chirurgia di Dehn · Trasversalità · Eversione della sfera · Teoria delle foliazioni · Decomposizione JSJ
Topologia algebrica	Fondamenti Spazio semplicemente connesso · Gruppo fondamentale Omotopia Arco · Nerbo · Omotopia · Gruppi di omotopia Omologia e coomologia Omologia · Omologia singolare · Omologia ciclica · Algebra omologica · Coomologia di De Rham · Categoria abeliana Sollevamento Sollevamento · Teorema del sollevamento dell'omotopia · Teorema di unicità del sollevamento · Teorema di Van Kampen Topologia algebrica avanzata Grado topologico · Indice di avvolgimento · Indice di un campo vettoriale · Rivestimento · Numero di Betti · Successione di Mayer-Vietoris · Successione esatta · Successione spettrale · Complesso simpliciale · Complesso di celle · Complesso di catene · Schema simpliciale Superfici Caratteristica di Eulero · Formula di Eulero per i poliedri · Genere · Taglio · Superficie incompressibile · Classificazione delle superfici · Mapping class group · Teorema della palla pelosa · Teorema di Poincaré-Hopf · Congettura di Poincaré · Congettura di Hodge
Topologi di rilievo	Henri Poincaré · Felix Hausdorff · Georg Cantor · Eduard Čech · John Milnor · Pierre Samuel · Norman Steenrod · René Thom · Samuel Eilenberg · Andrej Nikolaevič Kolmogorov · Stephen Smale · Michael Atiyah · William Thurston · Marston Morse · Luitzen Brouwer

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica