Bipiramidă hexagonală

Descriere
Bipiramidă hexagonală

Tip	bipiramidă
Fețe	12 triunghiuri isoscele
Laturi (muchii)	18
Vârfuri	8
χ	2
Configurația feței	V4.4.6
Simbol Schläfli	{ } + {6}
Diagramă Coxeter
Grup de simetrie	D_6h, [6,2], (*622), ordin 24
Grup de rotație	D₆, [6,2]⁺, (622), ordin 12
Poliedru dual	prismă hexagonală
Proprietăți	convexă, tranzitivă pe fețe

În geometrie o bipiramidă hexagonală este un poliedru format prin unirea a două piramide hexagonale prin bazele lor.^[1]^[2] O bipiramidă hexagonală 12 fețe triunghiulare, 18 laturi (muchii) și 8 vârfuri.

Deși este tranzitivă pe fețe,^[3] nu este un poliedru platonic deoarece în unele vârfuri se întâlnesc câte patru fețe, iar în altele câte șase. Nu este nici poliedru Johnson deoarece fețele sale nu pot fi triunghiuri echilaterale; 6 triunghiuri echilaterale ar fi coplanare.

Este una dintr-o mulțime infinită de bipiramide. Având douăsprezece fețe, este un tip de dodecaedru, deși acest nume este de obicei asociat cu forma poliedrului regulat cu fețe pentagonale.

Bipiramida hexagonală are un plan de simetrie (orizontal în figura din dreapta) unde bazele celor două piramide sunt unite. Secțiunea în acest plan este un hexagon. Există, de asemenea, 12 plane de simetrie care trec prin cele două apexuri, plane situate la unghiuri de 30° unul față de celălalt și perpendiculare pe planul orizontal. Secțiunile din aceste plane sunt romburi.

Formule pentru bipiramida regulată dreaptă

Pentru o bipiramidă hexagonală regulată cu latura $a$ și semiînălțimea $h$ (jumătate din distanța dintre apexuri) aria $A$ este dată de formula:^[4]^[5]

A=6a{\sqrt {{\frac {3}{4}}a^{2}+h^{2}}}

Pentru $a$ = 1 și $h$ = 1 aria este ≈ 7,9372539.

Formula volumului $V$ este:^[4]^[5]

V={\sqrt {3}}\,a^{2}h

Pentru $a$ = 1 și $h$ = 1 volumul este ≈ 1,7320508.

Pavare sferică

Poate fi văzută ca o pavare a unei sfere, fețele reprezentând și domeniile fundamentale ale simetriei diedrale [3,2], *322.

Poliedre înrudite

Bipiramida hexagonală, dt{2,6}, poate fi consecutiv: trunchiată tdt{2,6} și alternată (snub), sdt{2 ,6}:


Bipiramidă hexagonală	Bipiramidă hexagonală trunchiată	Bipiramidă hexagonală snub

Bipiramida hexagonală, dt{2,6}, poate fi consecutiv: rectificată rdt{2,6}, trunchiată trdt{2,6} și alternată (snub), srdt{2,6}:


Bipiramidă hexagonală	Bipiramidă hexagonală rectificată	Bipiramidă hexagonală rectificată trunchiată	Bipiramidă hexagonală rectificată snub

Poliedre sferice diedrice hexagonale uniforme v • d • m
Simetrie: [6,2], (*622)							[6,2]⁺, (622)	[6,2⁺], (2*3)


{6,2}	t{6,2}	r{6,2}	t{2,6}	{2,6}	rr{6,2}	tr{6,2}	sr{6,2}	s{2,6}
Dualele celor de mai sus

V6²	V12²	V6²	V4.4.6	V2⁶	V4.4.6	V4.4.12	V3.3.3.6	V3.3.3.3

Este primul poliedru dintr-o serie definită de configurația feței V4.6.2n. Acest grup este particular pentru că toate au un număr par de laturi pe vârf și au plane bisectoare. Pentru $n\geq 7$ seria continuă în planul hiperbolic.

Cu un număr par de fețe la fiecare vârf, aceste poliedre și pavări pot fi afișate cu doar două culori, alternat, astfel încât toate fețele adiacente să aibă culori diferite.

De asemenea, fiecare față din aceste domenii corespunde domeniului fundamental al unui grup de simetrie cu plane de oglindire de ordinul 2,3,n la fiecare vârf al feței triunghiulare.

Variante de pavări omnitrunchiate cu simetrie n32: 4.6.2n*
Simetrie *n32 [n,3]	Sferice				Euclid.	Hiperb. compacte		Paraco.	Hiperbolice necompacte
Simetrie *n32 [n,3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]	*∞32 [∞,3]	[12i,3]	[9i,3]	[6i,3]	[3i,3]
Imagini
Config.	4.6.4	4.6.6	4.6.8	4.6.10	4.6.12	4.6.14	4.6.16	4.6.∞	4.6.24i	4.6.18i	4.6.12i	4.6.6i
Duale
Config.	V4.6.4	V4.6.6	V4.6.8	V4.6.10	V4.6.12	V4.6.14	V4.6.16	V4.6.∞	V4.6.24i	V4.6.18i	V4.6.12i	V4.6.6i

Bipiramide n-gonale (simetrice) drepte „regulate”:
Numele bipiramidei	Bipiramidă digonală	Bipiramidă triunghiulară (v. J₁₂)	Bipiramidă tetragonală (v. O)	Bipiramidă pentagonală (v. J₁₃)	Bipiramidă hexagonală	Bipiramidă heptagonală	Bipiramidă octogonală	Bipiramidă eneagonală	Bipiramidă decagonală	...	Bipiramidă apeirogonală
Imagine										...
Pavare sferică										Pavare plană
Config. feței	V2.4.4	V3.4.4	V4.4.4	V5.4.4	V6.4.4	V7.4.4	V8.4.4	V9.4.4	V10.4.4	...	V∞.4.4
Diagramă Coxeter										...

Note

^ en „The 48 Special Crystal Forms”. 18 septembrie 2013. Arhivat din original la 18 septembrie 2013. Accesat în 18 noiembrie 2020.
^ en „Crystal Form, Zones, Crystal Habit”. Tulane.edu. Accesat în 16 septembrie 2017.
^ en „duality”. maths.ac-noumea.nc. Accesat în 5 noiembrie 2020.
^ ^a ^b en Eric W. Weisstein, Hexagonal Pyramid la MathWorld.
^ ^a ^b en Right Regular Pyramid Calculator, rechneronline.de, accesat 2022-10-29

Bibliografie

en Anthony Pugh (1976). Polyhedra: A visual approach. California: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7. Chapter 4: Duals of the Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms