二次函数 的二階導數是常數 。 微积分 中,函數 f {\displaystyle f} 的二階導數 (英語:second derivative 或second order derivative )是其导数 的導數。粗略而言,某量的二階導數,描述該量的變化率本身是否變化得快。例如,物體位置對時間的二階導數是瞬時加速度 ,即該物體的速度 隨時間的變化率。用萊布尼茲記法 :
a = d v d t = d 2 x d t 2 , {\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {v}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}{\boldsymbol {x}}}{\mathrm {d} t^{2}}},} 其中 a {\displaystyle {\boldsymbol {a}}} 為加速度, v {\displaystyle {\boldsymbol {v}}} 為速度, t {\displaystyle t} 為時間, x {\displaystyle {\boldsymbol {x}}} 為位置,而 d {\displaystyle \mathrm {d} } 表示瞬時的差值(又稱「delta」值)。最後一式 d 2 x d t 2 {\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} ^{2}{\boldsymbol {x}}}{\mathrm {d} t^{2}}}} 是位置 x {\displaystyle {\boldsymbol {x}}} 對時間的二階導數。
繪製函数图形 時,二階導數描述曲線的曲率 或凹凸性 。若函數的二階導數為正,則其圖像是向上彎,像隻杯( ∪ {\displaystyle \cup } )。反之,若其二階導數為負,則向下彎,像頂帽( ∩ {\displaystyle \cap } )。
連續兩次用一階導數的冪法則 ,則會推導出二階導數的冪法則,如下所示:
d 2 d x 2 [ x n ] = d d x d d x [ x n ] = d d x [ n x n − 1 ] = n d d x [ x n − 1 ] = n ( n − 1 ) x n − 2 . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\left[x^{n}\right]={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[x^{n}\right]={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[nx^{n-1}\right]=n{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[x^{n-1}\right]=n(n-1)x^{n-2}.} 公式對任意實數 n {\displaystyle n} 成立。
函數 f {\displaystyle f} 的二階導函數常記為 f ″ {\displaystyle f''} ,其於 x {\displaystyle x} 處取值為 f ″ ( x ) {\displaystyle f''(x)} 。[ 1] [ 2] 換言之,
f ″ = ( f ′ ) ′ , {\displaystyle f''=\left(f'\right)',} 其中 ′ {\displaystyle '} 表示一階求導。若用萊布尼茲記法 表示導數,則因變數 y {\displaystyle y} 關於自變數 x {\displaystyle x} 的二階導數記為
d 2 y d x 2 . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}.} 此種寫法的理由是, d d x {\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}} 表示對 x {\displaystyle x} 求導,從而求導兩次應寫成:
d d x ( d y d x ) = d 2 y d x 2 . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)\,=\,{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}.} 如前段 所記,二階導數標準的萊布尼茲記法為 d 2 y d x 2 {\textstyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}} 。然而,無法視之為純代數符號作運算。意思是,雖然看似兩個微分相除組成的分數,但是無法拆分、抵銷等。[ 註 1] 不過,可藉另一種記法補救前述問題。此記法是基於一階導數的商法則 。[ 3] 倘若視 d y d x {\textstyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}} 為兩微分之商,則求導時,根據商法則應有:
y ″ ( x ) = ( d y d x ) ′ = ( d y ) ′ ⋅ d x − d y ⋅ ( d x ) ′ ( d x ) 2 = d d x ( d y ) ⋅ d x − d y ⋅ d d x d x ( d x ) 2 = d 2 y d x 2 − d y d x d 2 x d x 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}y''(x)&=\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)'\\&={\frac {(\mathrm {d} y)'\cdot \mathrm {d} x-\mathrm {d} y\cdot (\mathrm {d} x)'}{(\mathrm {d} x)^{2}}}\\&={\frac {{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(\mathrm {d} y)\cdot \mathrm {d} x-\mathrm {d} y\cdot {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {d} x}{(\mathrm {d} x)^{2}}}\\&={\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}-{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} x^{2}}}.\end{aligned}}} 上式中, y ″ ( x ) {\displaystyle y''(x)} 為二階導數,但 d 2 y d x 2 {\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}} 則不然。 d u {\displaystyle \mathrm {d} u} 表示微分算子施用於 u {\displaystyle u} 的結果,即 d ( u ) {\displaystyle \mathrm {d} (u)} ,而 d 2 u {\displaystyle \mathrm {d} ^{2}u} 表示微分算子疊代兩次的結果,即 d ( d ( u ) ) {\displaystyle \mathrm {d} (\mathrm {d} (u))} 。最後 d u 2 {\displaystyle \mathrm {d} u^{2}} 是先微分再平方,即 ( d ( u ) ) 2 {\displaystyle (\mathrm {d} (u))^{2}} 。
若採此寫法(並依上段解讀各符號含義),則二階導數各項可以自由操作,與其他代數項作運算。例如,二階導數的反函數 公式,可自上式經一輪代數運算而得。二階導數的链式法则 亦然。不過,運算上的方便,與更換符號的不便,孰輕孰重,仍待定論。[ 4]
考慮
f ( x ) = x 3 , {\displaystyle f(x)=x^{3},} 運用冪法則, f {\displaystyle f} 的導數 f ′ {\displaystyle f'} 由下式給出:
f ′ ( x ) = 3 x 2 . {\displaystyle f^{\prime }(x)=3x^{2}.} f {\displaystyle f} 的二階導數即是對導數 f ′ {\displaystyle f'} 再次求導的結果,由下式給出:
f ′ ′ ( x ) = 6 x . {\displaystyle f^{\prime \prime }(x)=6x.} 另一個例子,考慮正弦函數 sin {\displaystyle \sin } 。有
sin ′ ( x ) = cos ( x ) , {\displaystyle \sin '(x)=\cos(x),} 而再次求導後,得到
sin ″ ( x ) = cos ′ ( x ) = − sin ( x ) . {\displaystyle \sin ''(x)=\cos '(x)=-\sin(x).} 換言之,正弦函數的二階導數是自身的相反數。
f ( x ) = sin ( 2 x ) {\displaystyle f(x)=\sin(2x)} 的圖像,其中 x {\displaystyle x} 的取值範圍是由 − π / 4 {\displaystyle -\pi /4} 至 5 π / 4 {\displaystyle 5\pi /4} 。當曲線向上彎時,切線為藍色。向下彎時則為綠。於拐點(即 0 , π / 2 , π {\displaystyle 0,\ \pi /2,\ \pi } )處則為紅。 函數 f {\displaystyle f} 的二階導數,描述其圖像凹的方向和程度,即凹性 (concavity )。[ 2] 若二階導數在某區間恆正,則函數在該區間向上凹 (向上彎,又稱為凸函數或下凸函數),意即其切线 總位於圖像下方「承托」。反之,若二階導數在某區間恆負,則函數在該區間向下凹 (向下彎,又稱為凹函數或上凸函數),其切線總位於圖像的上方「壓制」着。
若函數的二階導數在某點的左右異號,則圖像由向上彎轉變成向下彎,或反之。此種點稱為拐點 (inflection point )。假設二階導數連續 ,則在該點處必取零值,故可用「二階導數為零」之條件,篩選出可能的拐點。不過,二階導數為零的點不一定是拐點,如 f ( x ) = x 4 {\displaystyle f(x)=x^{4}} 有 f ″ ( 0 ) = 0 {\displaystyle f''(0)=0} ,但 f {\displaystyle f} 在實數系上為凸,無拐點。
二階導數與凹凸性的關係,有助判斷函數 f {\displaystyle f} 的驻点 (即滿足 f ′ ( x ) = 0 {\displaystyle f'(x)=0} 的點 x {\displaystyle x} )是否為局部極大點 或極小點 。具體言之:
若 f ′ ′ ( x ) < 0 {\displaystyle f^{\prime \prime }(x)<0} ,則 f {\displaystyle f} 於 x {\displaystyle x} 點取得局部極大值。 若 f ′ ′ ( x ) > 0 {\displaystyle f^{\prime \prime }(x)>0} ,則 f {\displaystyle f} 於 x {\displaystyle x} 點取得局部極小值。 若 f ′ ′ ( x ) = 0 {\displaystyle f^{\prime \prime }(x)=0} ,則二階導數檢驗無定論。該點或許是拐點,也可能是極大或極小點。 直觀理解,考慮一架賽車高速前進,但正在減速(加速度為負),則當速度降至零的一刻,賽車所在位置即為自起點出發,能達到的前方最遠處,因為此後速度降至負值,賽車會倒車。同樣,若考慮高速後退但加速度為正的賽車,則相應得到關於極小值的結論。
二階導數若存在,則可以衹用一個极限 寫出:
f ″ ( x ) = lim h → 0 f ( x + h ) − 2 f ( x ) + f ( x − h ) h 2 . {\displaystyle f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}.} 以上極限稱為二階對稱導數 。[ 5] [ 6] 但是,有時二階對稱導數存在,則函數仍沒有(平常的)二階導數。
右側欲求極限的分式,可理解成差商 的差商:
f ( x + h ) − 2 f ( x ) + f ( x − h ) h 2 = f ( x + h ) − f ( x ) h − f ( x ) − f ( x − h ) h h . {\displaystyle {\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}}{h}}.} 故其極限可視作序列 二階差分 的連續版本。
然而,上述極限存在並不推出函數 f {\displaystyle f} 二階可導。該極限僅是二階導數存在時,計算該導數的一種方法,但並非其定義。反例有符号函数 sgn {\displaystyle \operatorname {sgn} } ,其定義為:
sgn ( x ) = { − 1 , 若 x < 0 , 0 , 若 x = 0 , 1 , 若 x > 0. {\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1,&{\text{若 }}\ x<0,\\0,&{\text{若 }}\ x=0,\\1,&{\text{若 }}\ x>0.\end{cases}}} 符號函數在原點不連續,從而不可導,尤其並非二階可導。但是,在 x = 0 {\displaystyle x=0} 處,二階對稱導數存在:
lim h → 0 sgn ( 0 + h ) − 2 sgn ( 0 ) + sgn ( 0 − h ) h 2 = lim h → 0 sgn ( h ) − 2 ⋅ 0 + sgn ( − h ) h 2 = lim h → 0 sgn ( h ) + ( − sgn ( h ) ) h 2 = lim h → 0 0 h 2 = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(0+h)-2\operatorname {sgn}(0)+\operatorname {sgn}(0-h)}{h^{2}}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)-2\cdot 0+\operatorname {sgn}(-h)}{h^{2}}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)+(-\operatorname {sgn}(h))}{h^{2}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h^{2}}}=0.\end{aligned}}} 正如導數與线性近似 密切相關,二階導數也與二次近似 如影随形。某函數 f {\displaystyle f} 於某點的二次近似,是一個二次函数 ,與 f {\displaystyle f} 在該點處具有一樣的一、二階導數。函數 f {\displaystyle f} 於 a {\displaystyle a} 附近的二次近似可寫成:
f ( x ) ≈ f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + 1 2 f ″ ( a ) ( x − a ) 2 . {\displaystyle f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)+{\tfrac {1}{2}}f''(a)(x-a)^{2}.} 函數的二次近似就是第二階的泰勒多項式 。
因為求導運算為線性 ,所以求導兩次亦可視為函數空間 上的線性算子 ,從而可以研究其譜 。換言之,可求微分方程 v ″ = λ v {\displaystyle v''=\lambda v} 的函數解 v {\displaystyle v} (本徵向量 )與常數 λ {\displaystyle \lambda } (本徵值 )。對於許多種邊界條件 ,可以明確求出二階導數的本徵值與本徵向量 。
舉例,以閉區間 [ 0 , L ] {\displaystyle [0,L]} 為定義域,邊界採用齊次狄利克雷条件 (即 v ( 0 ) = v ( L ) = 0 {\displaystyle v(0)=v(L)=0} ),則諸本徵值 為 λ j = − j 2 π 2 L 2 {\displaystyle \lambda _{j}=-{\tfrac {j^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}} ,對應本徵向量 (亦稱本徵函數 ) v j {\displaystyle v_{j}} 由
v j ( x ) = 2 L sin ( j π x L ) {\displaystyle v_{j}(x)={\sqrt {\tfrac {2}{L}}}\sin \left({\tfrac {j\pi x}{L}}\right)} 給出。此處 v j ″ ( x ) = λ j v j ( x ) {\displaystyle v''_{j}(x)=\lambda _{j}v_{j}(x)} , j {\displaystyle j} 為任意正整數。
其他情況的解,見二階導數的本徵值與本徵向量 。
二階導數的高維推廣,其一是同時考慮全體二階偏导数 ∂ 2 f ∂ x i ∂ x j {\displaystyle {\tfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}} 。對於三元函數 f : R 3 → R {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} } ,二階偏導數包括
∂ 2 f ∂ x 2 , ∂ 2 f ∂ y 2 , ∂ 2 f ∂ z 2 , {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}},} 以及混合偏導數
∂ 2 f ∂ x ∂ y , ∂ 2 f ∂ x ∂ z , ∂ 2 f ∂ y ∂ z . {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial z}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial z}}.} 還有其他次序的混合偏導數,如 ∂ 2 f ∂ y ∂ x {\displaystyle {\tfrac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}} ,但由二階導數的對稱性 ,衹要 f {\displaystyle f} 滿足特定條件(如二階偏導數處處連續),則其他次序的混合偏導數等於上述已列出的偏導數。於是,各方向的二階偏導數可以砌成一個對稱方陣 ,稱為黑塞方陣 (英語:Hessian 或Hessian matrix )。該方陣的本徵值 適用於多變量情況的二階導數檢驗(稱為二階偏導數檢驗 )。
另一種常見推廣,則是衹考慮對同一個變量的二階導數,再求和,得到拉普拉斯算子 (Laplace operator 或Laplacian )。拉氏微分算子記作 ∇ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}} 或 Δ {\displaystyle \Delta } 。以三維情形為例,定義為
∇ 2 f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 . {\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.} 函數的拉氏算子等於梯度 的散度 ,亦是前述黑塞方陣之跡 。
Anton, Howard; Bivens, Irl; Davis, Stephen, Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable 8th, New York: Wiley, February 2, 2005, ISBN 978-0-471-47244-5 Apostol, Tom M., Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra 1 2nd, Wiley, June 1967, ISBN 978-0-471-00005-1 Apostol, Tom M., Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications 1 2nd, Wiley, June 1969, ISBN 978-0-471-00007-5 Eves, Howard, An Introduction to the History of Mathematics 6th, Brooks Cole, January 2, 1990, ISBN 978-0-03-029558-4 Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; Edwards, Bruce H., Calculus: Early Transcendental Functions 4th, Houghton Mifflin Company, February 28, 2006, ISBN 978-0-618-60624-5 Spivak, Michael , Calculus 3rd, Publish or Perish, September 1994, ISBN 978-0-914098-89-8 Stewart, James, Calculus 5th, Brooks Cole, December 24, 2002, ISBN 978-0-534-39339-7 Thompson, Silvanus P., Calculus Made Easy Revised, Updated, Expanded, New York: St. Martin's Press, September 8, 1998, ISBN 978-0-312-18548-0 Crowell, Benjamin, Calculus , 2003 [2021-11-28 ] , (原始内容 存档于2012-02-04) Garrett, Paul, Notes on First-Year Calculus , 2004 [2021-11-28 ] , (原始内容 存档于2012-02-05) Hussain, Faraz, Understanding Calculus , 2006 [2021-11-28 ] , (原始内容 存档于2019-03-26) Keisler, H. Jerome, Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals , 2000 [2021-11-28 ] , (原始内容 存档于2011-05-01) Mauch, Sean, Unabridged Version of Sean's Applied Math Book , 2004, (原始内容 存档于2006-04-15) Sloughter, Dan, Difference Equations to Differential Equations , 2000 [2021-11-28 ] , (原始内容 存档于2012-04-14) Strang, Gilbert, Calculus , 1991 [2021-11-28 ] , (原始内容 存档于2010-02-25) Stroyan, Keith D., A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus , 1997, (原始内容 存档于2005-09-11) Wikibooks, Calculus , [2021-11-28 ] , (原始内容 存档于2018-09-03)