二階導數 - 维基百科，自由的百科全书

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微积分中，函數 ${\displaystyle f}$ 的二階導數（英語：second derivative或second order derivative）是其导数的導數。粗略而言，某量的二階導數，描述該量的變化率本身是否變化得快。例如，物體位置對時間的二階導數是瞬時加速度，即該物體的速度隨時間的變化率。用萊布尼茲記法（英语：Leibniz notation）：

${\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {v}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}{\boldsymbol {x}}}{\mathrm {d} t^{2}}},}$

其中 ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$ 為加速度，${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$ 為速度，${\displaystyle t}$ 為時間，${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ 為位置，而 ${\displaystyle \mathrm {d} }$ 表示瞬時的差值（又稱「delta」值）。最後一式 ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} ^{2}{\boldsymbol {x}}}{\mathrm {d} t^{2}}}}$ 是位置 ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ 對時間的二階導數。

繪製函数图形時，二階導數描述曲線的曲率或凹凸性。若函數的二階導數為正，則其圖像是向上彎，像隻杯（${\displaystyle \cup }$）。反之，若其二階導數為負，則向下彎，像頂帽（${\displaystyle \cap }$）。

連續兩次用一階導數的冪法則（英语：power rule），則會推導出二階導數的冪法則，如下所示：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\left[x^{n}\right]={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[x^{n}\right]={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[nx^{n-1}\right]=n{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[x^{n-1}\right]=n(n-1)x^{n-2}.}$

公式對任意實數 ${\displaystyle n}$ 成立。

函數 ${\displaystyle f}$ 的二階導函數常記為 ${\displaystyle f''}$，其於 ${\displaystyle x}$ 處取值為 ${\displaystyle f''(x)}$。^[1][2]換言之，

${\displaystyle f''=\left(f'\right)',}$

其中 ${\displaystyle '}$ 表示一階求導。若用萊布尼茲記法（英语：Leibniz's notation）表示導數，則因變數 ${\displaystyle y}$ 關於自變數 ${\displaystyle x}$ 的二階導數記為

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}.}$

此種寫法的理由是，${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}}$ 表示對 ${\displaystyle x}$ 求導，從而求導兩次應寫成：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)\,=\,{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}.}$

如前段所記，二階導數標準的萊布尼茲記法為 ${\textstyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}}$。然而，無法視之為純代數符號作運算。意思是，雖然看似兩個微分相除組成的分數，但是無法拆分、抵銷等。^{[註 1]}不過，可藉另一種記法補救前述問題。此記法是基於一階導數的商法則。^[3]倘若視 ${\textstyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}}$ 為兩微分之商，則求導時，根據商法則應有：

${\displaystyle {\begin{aligned}y''(x)&=\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)'\\&={\frac {(\mathrm {d} y)'\cdot \mathrm {d} x-\mathrm {d} y\cdot (\mathrm {d} x)'}{(\mathrm {d} x)^{2}}}\\&={\frac {{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(\mathrm {d} y)\cdot \mathrm {d} x-\mathrm {d} y\cdot {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {d} x}{(\mathrm {d} x)^{2}}}\\&={\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}-{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} x^{2}}}.\end{aligned}}}$

上式中，${\displaystyle y''(x)}$ 為二階導數，但 ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}}$ 則不然。${\displaystyle \mathrm {d} u}$ 表示微分算子施用於 ${\displaystyle u}$ 的結果，即 ${\displaystyle \mathrm {d} (u)}$，而 ${\displaystyle \mathrm {d} ^{2}u}$ 表示微分算子疊代兩次的結果，即 ${\displaystyle \mathrm {d} (\mathrm {d} (u))}$。最後 ${\displaystyle \mathrm {d} u^{2}}$ 是先微分再平方，即 ${\displaystyle (\mathrm {d} (u))^{2}}$。

若採此寫法（並依上段解讀各符號含義），則二階導數各項可以自由操作，與其他代數項作運算。例如，二階導數的反函數公式，可自上式經一輪代數運算而得。二階導數的链式法则亦然。不過，運算上的方便，與更換符號的不便，孰輕孰重，仍待定論。^[4]

考慮

${\displaystyle f(x)=x^{3},}$

運用冪法則，${\displaystyle f}$ 的導數 ${\displaystyle f'}$ 由下式給出：

${\displaystyle f^{\prime }(x)=3x^{2}.}$

${\displaystyle f}$ 的二階導數即是對導數 ${\displaystyle f'}$ 再次求導的結果，由下式給出：

${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)=6x.}$

另一個例子，考慮正弦函數 ${\displaystyle \sin }$。有

${\displaystyle \sin '(x)=\cos(x),}$

而再次求導後，得到

${\displaystyle \sin ''(x)=\cos '(x)=-\sin(x).}$

換言之，正弦函數的二階導數是自身的相反數。

函數 ${\displaystyle f}$ 的二階導數，描述其圖像凹的方向和程度，即凹性（concavity）。^[2]若二階導數在某區間恆正，則函數在該區間向上凹（向上彎，又稱為凸函數或下凸函數），意即其切线總位於圖像下方「承托」。反之，若二階導數在某區間恆負，則函數在該區間向下凹（向下彎，又稱為凹函數或上凸函數），其切線總位於圖像的上方「壓制」着。

若函數的二階導數在某點的左右異號，則圖像由向上彎轉變成向下彎，或反之。此種點稱為拐點（inflection point）。假設二階導數連續，則在該點處必取零值，故可用「二階導數為零」之條件，篩選出可能的拐點。不過，二階導數為零的點不一定是拐點，如 ${\displaystyle f(x)=x^{4}}$ 有 ${\displaystyle f''(0)=0}$，但 ${\displaystyle f}$ 在實數系上為凸，無拐點。

二階導數與凹凸性的關係，有助判斷函數 ${\displaystyle f}$ 的驻点（即滿足 ${\displaystyle f'(x)=0}$ 的點 ${\displaystyle x}$）是否為局部極大點或極小點。具體言之：

• 若 ${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)<0}$，則 ${\displaystyle f}$ 於 ${\displaystyle x}$ 點取得局部極大值。
• 若 ${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)>0}$，則 ${\displaystyle f}$ 於 ${\displaystyle x}$ 點取得局部極小值。
• 若 ${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)=0}$，則二階導數檢驗無定論。該點或許是拐點，也可能是極大或極小點。

直觀理解，考慮一架賽車高速前進，但正在減速（加速度為負），則當速度降至零的一刻，賽車所在位置即為自起點出發，能達到的前方最遠處，因為此後速度降至負值，賽車會倒車。同樣，若考慮高速後退但加速度為正的賽車，則相應得到關於極小值的結論。

二階導數若存在，則可以衹用一個极限寫出：

${\displaystyle f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}.}$

以上極限稱為二階對稱導數（英语：second symmetric derivative）。^[5][6]但是，有時二階對稱導數存在，則函數仍沒有（平常的）二階導數。

右側欲求極限的分式，可理解成差商的差商：

${\displaystyle {\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}}{h}}.}$

故其極限可視作序列二階差分的連續版本。

然而，上述極限存在並不推出函數 ${\displaystyle f}$ 二階可導。該極限僅是二階導數存在時，計算該導數的一種方法，但並非其定義。反例有符号函数 ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$，其定義為：

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1,&{\text{若 }}\ x<0,\\0,&{\text{若 }}\ x=0,\\1,&{\text{若 }}\ x>0.\end{cases}}}$

符號函數在原點不連續，從而不可導，尤其並非二階可導。但是，在 ${\displaystyle x=0}$ 處，二階對稱導數存在：

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(0+h)-2\operatorname {sgn}(0)+\operatorname {sgn}(0-h)}{h^{2}}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)-2\cdot 0+\operatorname {sgn}(-h)}{h^{2}}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)+(-\operatorname {sgn}(h))}{h^{2}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h^{2}}}=0.\end{aligned}}}$

正如導數與线性近似密切相關，二階導數也與二次近似如影随形。某函數 ${\displaystyle f}$ 於某點的二次近似，是一個二次函数，與 ${\displaystyle f}$ 在該點處具有一樣的一、二階導數。函數 ${\displaystyle f}$ 於 ${\displaystyle a}$ 附近的二次近似可寫成：

${\displaystyle f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)+{\tfrac {1}{2}}f''(a)(x-a)^{2}.}$

函數的二次近似就是第二階的泰勒多項式。

因為求導運算為線性，所以求導兩次亦可視為函數空間上的線性算子，從而可以研究其譜。換言之，可求微分方程 ${\displaystyle v''=\lambda v}$ 的函數解 ${\displaystyle v}$（本徵向量）與常數 ${\displaystyle \lambda }$（本徵值）。對於許多種邊界條件，可以明確求出二階導數的本徵值與本徵向量（英语：eigenvalues and eigenvectors of the second derivative）。

舉例，以閉區間 ${\displaystyle [0,L]}$ 為定義域，邊界採用齊次狄利克雷条件（即 ${\displaystyle v(0)=v(L)=0}$），則諸本徵值為 ${\displaystyle \lambda _{j}=-{\tfrac {j^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}}$，對應本徵向量（亦稱本徵函數）${\displaystyle v_{j}}$ 由

${\displaystyle v_{j}(x)={\sqrt {\tfrac {2}{L}}}\sin \left({\tfrac {j\pi x}{L}}\right)}$

給出。此處 ${\displaystyle v''_{j}(x)=\lambda _{j}v_{j}(x)}$，${\displaystyle j}$ 為任意正整數。

其他情況的解，見二階導數的本徵值與本徵向量（英语：eigenvalues and eigenvectors of the second derivative）。

二階導數的高維推廣，其一是同時考慮全體二階偏导数 ${\displaystyle {\tfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}}$。對於三元函數 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$，二階偏導數包括

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}},}$

以及混合偏導數

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial z}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial z}}.}$

還有其他次序的混合偏導數，如 ${\displaystyle {\tfrac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}}$，但由二階導數的對稱性，衹要 ${\displaystyle f}$ 滿足特定條件（如二階偏導數處處連續），則其他次序的混合偏導數等於上述已列出的偏導數。於是，各方向的二階偏導數可以砌成一個對稱方陣，稱為黑塞方陣（英語：Hessian或Hessian matrix）。該方陣的本徵值適用於多變量情況的二階導數檢驗（稱為二階偏導數檢驗（英语：second partial derivative test））。

另一種常見推廣，則是衹考慮對同一個變量的二階導數，再求和，得到拉普拉斯算子（Laplace operator或Laplacian）。拉氏微分算子記作 ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ 或 ${\displaystyle \Delta }$。以三維情形為例，定義為

${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}$

函數的拉氏算子等於梯度的散度，亦是前述黑塞方陣之跡。

• 啁啾度——某訊號瞬時相位的二階導數（瞬時頻率的一階導數）。

• Anton, Howard; Bivens, Irl; Davis, Stephen, Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable 8th, New York: Wiley, February 2, 2005, ISBN 978-0-471-47244-5 
• Apostol, Tom M., Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra 1 2nd, Wiley, June 1967, ISBN 978-0-471-00005-1 
• Apostol, Tom M., Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications 1 2nd, Wiley, June 1969, ISBN 978-0-471-00007-5 
• Eves, Howard, An Introduction to the History of Mathematics 6th, Brooks Cole, January 2, 1990, ISBN 978-0-03-029558-4 
• Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; Edwards, Bruce H., Calculus: Early Transcendental Functions 4th, Houghton Mifflin Company, February 28, 2006, ISBN 978-0-618-60624-5 
• Spivak, Michael, Calculus 3rd, Publish or Perish, September 1994, ISBN 978-0-914098-89-8 
• Stewart, James, Calculus 5th, Brooks Cole, December 24, 2002, ISBN 978-0-534-39339-7 
• Thompson, Silvanus P., Calculus Made Easy Revised, Updated, Expanded, New York: St. Martin's Press, September 8, 1998, ISBN 978-0-312-18548-0 

• Crowell, Benjamin, Calculus, 2003 [2021-11-28], （原始内容存档于2012-02-04） 
• Garrett, Paul, Notes on First-Year Calculus, 2004 [2021-11-28], （原始内容存档于2012-02-05） 
• Hussain, Faraz, Understanding Calculus, 2006 [2021-11-28], （原始内容存档于2019-03-26） 
• Keisler, H. Jerome, Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals, 2000 [2021-11-28], （原始内容存档于2011-05-01） 
• Mauch, Sean, Unabridged Version of Sean's Applied Math Book, 2004, （原始内容存档于2006-04-15） 
• Sloughter, Dan, Difference Equations to Differential Equations, 2000 [2021-11-28], （原始内容存档于2012-04-14） 
• Strang, Gilbert, Calculus, 1991 [2021-11-28], （原始内容存档于2010-02-25） 
• Stroyan, Keith D., A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus, 1997, （原始内容存档于2005-09-11） 
• Wikibooks, Calculus, [2021-11-28], （原始内容存档于2018-09-03）