Γ函數在实数定义域上的函數圖形 在數學 中， Γ {\displaystyle \Gamma \,} 函数 （伽瑪函數 ；Gamma函数），是階乘 函數在實數 與複數 域上的擴展。如果 n {\displaystyle n} 正整數 ，則：
Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!} 根据解析延拓 原理，伽瑪函數可以定義在除去非正整數 的整個複數 域上：
Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t , {\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}{\rm {{d}t,}}} ℜ ( z ) > 0. {\displaystyle \Re (z)>0.} 数学家勒讓德 首次使用了希腊字母 Γ作为该函数的记号。在機率論 和组合数学 中此函數很常用。
Γ {\displaystyle \Gamma \,} 欧拉 （Euler）第二类积分定義：
Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t {\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}{\rm {{d}t}}} 对复数 z {\displaystyle z\,} R e ( z ) > 0 {\displaystyle \mathrm {Re} (z)>0}
Γ {\displaystyle \Gamma } e − t {\displaystyle \mathrm {e} ^{-t}\,} 泰勒展开 ，解析延拓 到整个复平面 ： Γ ( z ) = ∫ 1 ∞ t z − 1 e t d t + ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n n ! 1 n + z {\displaystyle \Gamma (z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {t^{z-1}}{\mathrm {e} ^{t}}}{\rm {d}}t+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}{\frac {1}{n+z}}}
这样定义的 Γ {\displaystyle \Gamma } z = 0 , − 1 , − 2 , … {\displaystyle z=0,-1,-2,\ldots }
Γ {\displaystyle \Gamma } 无穷乘积 的方式表示：
Γ ( z ) = 1 z ∏ n = 1 ∞ ( 1 + z n ) − 1 ( 1 + 1 n ) z {\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}} 这说明 Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} 1 Γ ( z ) {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}}
Γ函數本身可以被看作是一個下列插值問題的解：
『找到一個光滑曲線連接那些由 y = ( x − 1 ) ! {\displaystyle y=(x-1)!} ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} x {\displaystyle x}
由前幾個的階乘 清楚地表明這樣的曲線是可以被畫出來的，但是我們更希望有一個精確的公式去描述這個曲線，並讓階乘的操作不會依賴於 x {\displaystyle x} x ! = 1 × 2 × ⋯ × x {\displaystyle x!=1\times 2\times \cdots \times x} x {\displaystyle x} 分数 的時候，因為它被限定在 x {\displaystyle x} x ! {\displaystyle x!} [ 1]
階乘有無限多種的連續擴張方式將定義域擴張到非整數：可以通過任何一組孤立點畫出無限多的曲線。Γ函數是實務上最好的一個選擇，因為是解析的 (除了非正整數點)，而且它可以被定義成很多種等價形式。然而，它並不是唯一一個擴張階乘意義的解析函數，只要給予任何解析函數，其在正整數上為零，像是 k sin ( m π x ) {\displaystyle k\sin(m\pi x)}
Γ {\displaystyle \Gamma \,} 無窮乘積 表示：
Γ ( z ) = lim n → ∞ n ! n z ∏ k = 0 n ( z + k ) − 1 {\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{n\to {\infty }}n!\;n^{z}\prod _{k=0}^{n}(z+k)^{-1}} Γ ( z ) = e − γ z z ∏ n = 1 ∞ ( 1 + z n ) − 1 e z n {\displaystyle \Gamma (z)={\frac {\mathrm {e} ^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}\mathrm {e} ^{\frac {z}{n}}} 其中 γ {\displaystyle \gamma \,} 欧拉-马歇罗尼常数 。
1 = ∫ 0 ∞ x α − 1 λ α e − λ x Γ ( α ) d x {\displaystyle 1=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{\alpha -1}\lambda ^{\alpha }\mathrm {e} ^{-\lambda x}}{\Gamma \left(\alpha \right)}}{\rm {d}}x} ⟹ Γ ( α ) λ α = ∫ 0 ∞ x α − 1 e − λ x d x {\displaystyle \implies {\frac {\Gamma \left(\alpha \right)}{\lambda ^{\alpha }}}=\int _{0}^{\infty }x^{\alpha -1}\mathrm {e} ^{-\lambda x}{\rm {d}}x}
Γ {\displaystyle \Gamma \,} Γ ( x + 1 ) = x Γ ( x ) {\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)}
对于正整数 n {\displaystyle n\,}
Γ ( n + 1 ) = n ! {\displaystyle \Gamma (n+1)=n!} 可以说 Γ {\displaystyle \Gamma \,} 階乘 的推廣。
Γ ( n + 1 ) = ∫ 0 ∞ e − x x n + 1 − 1 d x = ∫ 0 ∞ e − x x n d x {\displaystyle \Gamma (n+1)=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n+1-1}\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\rm {d}}x}
我们用分部积分法 来计算这个积分：
∫ 0 ∞ e − x x n d x = [ − x n e x ] 0 ∞ + n ∫ 0 ∞ e − x x n − 1 d x {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n}\mathrm {d} x=\left[{\frac {-x^{n}}{\mathrm {e} ^{x}}}\right]_{0}^{\infty }+n\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n-1}{\rm {d}}x}
当 x = 0 {\displaystyle x=0\,} − 0 n e 0 = 0 1 = 0 {\displaystyle {\tfrac {-0^{n}}{\mathrm {e} ^{0}}}={\tfrac {0}{1}}=0} x {\displaystyle x\,} 无穷大 时，根据洛必达法则 ，有：
lim x → ∞ − x n e x = lim x → ∞ − n ! ⋅ 0 e x = 0 {\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {-x^{n}}{\mathrm {e} ^{x}}}=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {-n!\cdot 0}{\mathrm {e} ^{x}}}=0}
因此第一项 [ − x n e x ] 0 ∞ {\displaystyle \left[{\tfrac {-x^{n}}{\mathrm {e} ^{x}}}\right]_{0}^{\infty }}
Γ ( n + 1 ) = n ∫ 0 ∞ x n − 1 e x d x {\displaystyle \Gamma (n+1)=n\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{n-1}}{\mathrm {e} ^{x}}}{\rm {d}}x}
等式的右面正好是 n Γ ( n ) {\displaystyle n\Gamma (n)\,} 递推公式 为：
Γ ( n + 1 ) = n Γ ( n ) {\displaystyle {\Gamma (n+1)=n\Gamma (n)}\,} 當 z → 0 + {\displaystyle z\to 0^{+}} Γ ( z ) → + ∞ {\displaystyle \Gamma (z)\to +\infty } 歐拉反射公式 （余元公式）： Γ ( z ) Γ ( 1 − z ) = π sin π z ( 0 < R e ( z ) < 1 ) {\displaystyle \Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin {\pi z}}}\quad (0<\mathrm {Re} (z)<1)} 由此可知当 z = 1 2 {\displaystyle \ z={\tfrac {1}{2}}} Γ ( 1 2 ) = π {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}} 伽马函数还是负自然指数函数 的梅林变换 : Γ ( z ) = M { e − x } ( z ) . {\displaystyle \Gamma (z)={\mathcal {M}}\{e^{-x}\}(z).} Γ ( z ) Γ ( z + 1 2 ) = 2 1 − 2 z π Γ ( 2 z ) {\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z)} Γ ( z ) Γ ( z + 1 m ) Γ ( z + 2 m ) ⋯ Γ ( z + m − 1 m ) = ( 2 π ) m − 1 2 m 1 2 − m z Γ ( m z ) {\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\tfrac {1}{m}}\right)\;\Gamma \left(z+{\tfrac {2}{m}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\tfrac {m-1}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}\;m^{{\frac {1}{2}}-mz}\;\Gamma (mz)} Γ ( n + 1 2 ) = ( 2 n ) ! π n ! 4 n {\displaystyle \Gamma \left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {(2n)!{\sqrt {\pi }}}{n!4^{n}}}} Γ ( 1 / 6 ) = Γ ( 1 / 3 ) 2 / π ∗ 2 2 / 3 ∗ sin ( π / 3 ) . {\displaystyle \Gamma (1/6)=\Gamma (1/3)^{2}/{\sqrt {\pi }}*2^{2/3}*\sin({\pi /3}).} Γ ( 5 / 6 ) = 1 / Γ ( 1 / 3 ) 2 ∗ π 3 ∗ 2 4 / 3 / 3 . {\displaystyle \Gamma (5/6)=1/\Gamma (1/3)^{2}*{\sqrt {\pi }}^{3}*2^{4/3}/{\sqrt {3}}.} Γ ( 1 / 10 ) = Γ ( 1 / 5 ) ∗ Γ ( 2 / 5 ) / π ∗ 2 4 / 5 ∗ sin ( 2 ∗ π / 5 ) . {\displaystyle \Gamma (1/10)=\Gamma (1/5)*\Gamma (2/5)/{\sqrt {\pi }}*2^{4/5}*\sin({2*\pi /5}).} Γ ( 3 / 10 ) = Γ ( 1 / 5 ) / Γ ( 2 / 5 ) ∗ π / 2 3 / 5 / sin ( 3 ∗ π / 10 ) . {\displaystyle \Gamma (3/10)=\Gamma (1/5)/\Gamma (2/5)*{\sqrt {\pi }}/2^{3/5}/\sin({3*\pi /10}).} Γ ( 7 / 10 ) = Γ ( 2 / 5 ) / Γ ( 1 / 5 ) ∗ π ∗ 2 3 / 5 . {\displaystyle \Gamma (7/10)=\Gamma (2/5)/\Gamma (1/5)*{\sqrt {\pi }}*2^{3/5}.} Γ ( 9 / 10 ) = 1 / ( Γ ( 1 / 5 ) ∗ Γ ( 2 / 5 ) ) ∗ π 3 / 2 4 / 5 / ( sin ( π / 10 ) ∗ sin ( 2 ∗ π / 5 ) ) . {\displaystyle \Gamma (9/10)=1/(\Gamma (1/5)*\Gamma (2/5))*{\sqrt {\pi }}^{3}/2^{4/5}/(\sin(\pi /10)*\sin({2*\pi /5})).} [ 2]
此式可用來協助計算t分布 機率密度函數、卡方分布 機率密度函數、F分布 機率密度函數等的累計機率。
對任何實數α
lim n → ∞ Γ ( n + α ) Γ ( n ) n α = 1 , α ∈ R {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\Gamma (n+\alpha )}{\Gamma (n)n^{\alpha }}}=1,\qquad \alpha \in \mathbf {R} } Γ ( z + 1 ) {\displaystyle \Gamma (z+1)} （藍色）、
2 π z ( z e ) z {\displaystyle {\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}} （橘色），數字越大
2 π z ( z e ) z , {\displaystyle {\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z},} 會越趨近
Γ ( z + 1 ) {\displaystyle \Gamma (z+1)} 。但
2 π z ( z e ) z {\displaystyle {\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}} 會在負值則會因為出現虛數而無法使用。
斯特靈公式 能用以估計 Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)}
Γ ( z + 1 ) ∼ 2 π z ( z e ) z , {\displaystyle \Gamma (z+1)\sim {\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z},} 其中e 約等於2.718281828459。
Γ ( − 3 2 ) = 4 3 π ≈ 2.363 271 801 207 Γ ( − 1 2 ) = − 2 π ≈ − 3.544 907 701 811 Γ ( 1 2 ) = π ≈ 1.772 453 850 906 Γ ( 1 ) = 0 ! = 1 Γ ( 3 2 ) = 1 2 π ≈ 0.886 226 925 453 Γ ( 2 ) = 1 ! = 1 Γ ( 5 2 ) = 3 4 π ≈ 1.329 340 388 179 Γ ( 3 ) = 2 ! = 2 Γ ( 7 2 ) = 15 8 π ≈ 3.323 350 970 448 Γ ( 4 ) = 3 ! = 6 {\displaystyle {\begin{array}{rcccl}\Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}&\approx &2.363\,271\,801\,207\\\Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)&=&-2{\sqrt {\pi }}&\approx &-3.544\,907\,701\,811\\\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)&=&{\sqrt {\pi }}&\approx &1.772\,453\,850\,906\\\Gamma (1)&=&0!&=&1\\\Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}&\approx &0.886\,226\,925\,453\\\Gamma (2)&=&1!&=&1\\\Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\right)&=&{\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}&\approx &1.329\,340\,388\,179\\\Gamma (3)&=&2!&=&2\\\Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\right)&=&{\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&\approx &3.323\,350\,970\,448\\\Gamma (4)&=&3!&=&6\end{array}}} 连分数表示
伽马函数也可以在复数域表示为两个连分数 之和[ 3]
Γ ( z ) = e − 1 2 + 0 − z + 1 z − 1 2 + 2 − z + 2 z − 2 2 + 4 − z + 3 z − 3 2 + 6 − z + 4 z − 4 2 + 8 − z + 5 z − 5 2 + 10 − z + ⋱ + e − 1 z + 0 − z + 0 z + 1 + 1 z + 2 − z + 1 z + 3 + 2 z + 4 − z + 2 z + 5 + 3 z + 6 − ⋱ {\displaystyle \Gamma (z)={\cfrac {e^{-1}}{2+0-z+1{\cfrac {z-1}{2+2-z+2{\cfrac {z-2}{2+4-z+3{\cfrac {z-3}{2+6-z+4{\cfrac {z-4}{2+8-z+5{\cfrac {z-5}{2+10-z+\ddots }}}}}}}}}}}}+{\cfrac {e^{-1}}{z+0-{\cfrac {z+0}{z+1+{\cfrac {1}{z+2-{\cfrac {z+1}{z+3+{\cfrac {2}{z+4-{\cfrac {z+2}{z+5+{\cfrac {3}{z+6-\ddots }}}}}}}}}}}}}}}
Γ函數（藍色）、Γ函數的微分（橘色），其中，大於50與小於-20的部分被截掉。
對任何複數 z ，滿足 Re(z) > 0 ，有
d n d z n Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t ( ln t ) n d t {\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}z^{n}}}\,\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}(\ln t)^{n}dt} 於是，對任何正整數 m
Γ ′ ( m + 1 ) = m ! ( − γ + ∑ k = 1 m 1 k ) {\displaystyle \Gamma '(m+1)=m!\left(-\gamma +\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}\right)\,} 其中γ是歐拉-馬歇羅尼常數 。
Γ ( x + i y ) = { ∫ 1 ∞ t x − 1 e t cos ( y ln t ) d t + ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k k ! [ k + x ( k + x ) 2 + y 2 ] } + i { ∫ 1 ∞ t x − 1 e t sin ( y ln t ) d t − ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k k ! [ y ( k + x ) 2 + y 2 ] } {\displaystyle \Gamma (x+{\rm {i}}y)=\left\{\int _{1}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{\mathrm {e} ^{t}}}\cos(y\ln t){\rm {d}}t+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\left[{\frac {k+x}{(k+x)^{2}+y^{2}}}\right]\right\}+{\rm {i}}\left\{\int _{1}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{\mathrm {e} ^{t}}}\sin(y\ln t){\rm {d}}t-\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}{\left[{\frac {y}{(k+x)^{2}+y^{2}}}\right]}\right\}\,} Γ函數的絕對值函數圖形 注意到在 Γ {\displaystyle \Gamma } z {\displaystyle z\,} 複數 、則積分存在，而且在右半複平面上定義一個全純函數 。利用函數方程
Γ ( z ) Γ ( 1 − z ) = π sin π z ( 0 < R e ( z ) < 1 ) {\displaystyle \Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin {\pi z}}}\quad (0<\mathrm {Re} (z)<1)} 並注意到函數 sin ( π z ) {\displaystyle \sin(\pi z)\,} R e ( z ) < 1 {\displaystyle \mathrm {Re} (z)<1}
Γ ( z ) = π Γ ( 1 − z ) sin π z {\displaystyle \Gamma (z)={\dfrac {\pi }{\Gamma (1-z)\sin {\pi z}}}} 從而將 Γ {\displaystyle \Gamma \,} 亞純函數 ，它在 z = 0 , − 1 , − 2 , − 3 ⋯ {\displaystyle z=0,-1,-2,-3\cdots } 極點 ，留數為
R e s ( Γ , − n ) = ( − 1 ) n n ! . {\displaystyle \mathrm {Res} (\Gamma ,-n)={\dfrac {(-1)^{n}}{n!}}.} 許多程式語言或試算表軟體有提供Γ函数或對數的Γ函数，例如EXCEL。而對數的Γ函数還要再取一次自然指數才能獲得Γ函数值。例如在EXCEL中，可使用GAMMALN函数，再用EXP[GAMMALN(X)]，即可求得任意實数的伽玛函数的值。
例如在EXCEL中：EXP[GAMMALN(4/3)]=0.89297951156925 而在沒有提供Γ函数的程式環境中，也能夠過泰勒級數或斯特靈公式等方式來近似，例如Robert H. Windschitl在2002年提出的方法，其在十進制可獲得有效數字八位數的精確度[ 4] 單精度浮點數 的二進制有效數字24位：
Γ ( z ) ≈ 2 π z ( z e z sinh 1 z + 1 810 z 6 ) z {\displaystyle \Gamma (z)\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left({\frac {z}{e}}{\sqrt {z\sinh {\frac {1}{z}}+{\frac {1}{810z^{6}}}}}\right)^{z}}
French
Deutsch
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n}\mathrm {d} x=\left[{\frac {-x^{n}}{\mathrm {e} ^{x}}}\right]_{0}^{\infty }+n\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n-1}{\rm {d}}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af41fc7021a386337e5dcbd3373cf3adccaf7aa1)
![{\displaystyle \left[{\tfrac {-x^{n}}{\mathrm {e} ^{x}}}\right]_{0}^{\infty }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5778f9be76c0e625be4eaaed361c47b808b6c70d)
![{\displaystyle \Gamma (x+{\rm {i}}y)=\left\{\int _{1}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{\mathrm {e} ^{t}}}\cos(y\ln t){\rm {d}}t+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\left[{\frac {k+x}{(k+x)^{2}+y^{2}}}\right]\right\}+{\rm {i}}\left\{\int _{1}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{\mathrm {e} ^{t}}}\sin(y\ln t){\rm {d}}t-\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}{\left[{\frac {y}{(k+x)^{2}+y^{2}}}\right]}\right\}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25ab32872895753584daf8bf525f5e2cf9378efe)
