Intorno

In analisi matematica e in topologia, un insieme è detto intorno di un punto se contiene un insieme aperto contenente il punto.^[1] Un intorno di un punto ${\displaystyle x}$ senza il punto ${\displaystyle x}$ si dice intorno bucato o anulare.

Si tratta di un concetto fondamentale che è alla base delle nozioni di funzione continua e limite. Un intorno di un punto ${\displaystyle x}$ è intuitivamente un insieme di punti "vicini" al punto ${\displaystyle x.}$ Ogni intorno individua un insieme differente di vicini. Spesso per tradurre in linguaggio matematico l'idea che una proprietà debba essere verificata per punti che sono arbitrariamente vicini a ${\displaystyle x}$ si dice che vale "per ogni intorno di ${\displaystyle x}$".

Il concetto di intorno è strettamente connesso al concetto di insieme aperto.

In un generico spazio topologico ${\displaystyle (X,T)}$, un intorno di un punto ${\displaystyle x}$ è un insieme ${\displaystyle V}$ che contiene almeno un insieme aperto ${\displaystyle U\in T}$ contenente ${\displaystyle x}$, cioè ${\displaystyle x\in U\subseteq V}$^[1], che è l'abbreviazione di ${\displaystyle x\in U}$ e ${\displaystyle U\subseteq V.}$

L'insieme ${\displaystyle V}$ non è necessariamente un insieme aperto o un insieme chiuso. Nel caso in cui ${\displaystyle V}$ sia aperto, si parla di intorno aperto, invece quando ${\displaystyle V}$ è chiuso viene definito intorno chiuso.

Nel caso di uno spazio metrico ${\displaystyle (X,d)}$ si possono considerare intorni caratterizzati da richieste sulla distanza. In particolare risulta utile considerare l'intorno sferico (o circolare) aperto di un punto ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle X}$ di raggio ${\displaystyle r>0}$ definito come l'insieme:

${\displaystyle B(x,r)=\{y\in X\ :\ d(y,x)<r\}.}$

L'insieme in questione viene detto anche palla aperta, o disco aperto, di centro ${\displaystyle x}$ e raggio ${\displaystyle r>0}$ (per avere un disco chiuso basta sostituire al simbolo ${\displaystyle <}$ il simbolo ${\displaystyle \leq }$ nella definizione di ${\displaystyle B(x,r)}$. Se si indica con ${\displaystyle {\overline {S}}}$ la chiusura di un insieme ${\displaystyle S,}$ allora è coerente indicare con ${\displaystyle {\overline {B}}(x,r)}$ il disco chiuso di centro ${\displaystyle x}$ e raggio ${\displaystyle r}$). Un esempio è l'intorno di raggio ${\displaystyle r}$ quando si considera ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$, che risulta poi essere un intervallo contenente ${\displaystyle x}$ del tipo ${\displaystyle ]x-r,x+r[}$, o ${\displaystyle [x-r,x+r]}$, ovvero, aperto o chiuso, a seconda che, rispettivamente, ${\displaystyle B(x,r)}$ sia aperto o chiuso in ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

I dischi aperti tornano molto utili nell'Analisi e nella Topologia per diversi motivi. Innanzitutto, è possibile definire l'intorno di un punto ${\displaystyle x\in X}$ come un qualunque sottoinsieme ${\displaystyle U}$ di ${\displaystyle X}$ tale che esista un ${\displaystyle r>0}$ in corrispondenza del quale ${\displaystyle B(x,r)\subseteq U.}$ Così facendo, tra l'altro, discende naturalmente che lo stesso disco aperto è un intorno del suo centro. In secondo luogo, un qualsiasi disco aperto (ma anche chiuso) definito in uno spazio metrico derivante da uno spazio normato (cioè uno spazio normato visto come spazio metrico, dove la metrica è quella indotta dalla norma), è convesso. Sia infatti ${\displaystyle (X,||\ ||)}$ uno spazio normato, ${\displaystyle x\in X}$ e ${\displaystyle r>0}$. Se ${\displaystyle y,z\in B(x,r)}$, e ${\displaystyle \gamma :[0,1]\rightarrow X}$ è la curva ${\displaystyle \gamma (t)=(1-t)y+tz}$, allora, posto ${\displaystyle \xi =\xi (t)=\gamma (t)}$, si ha

${\displaystyle d(\xi ,x)=||\xi -x||=||(1-t)y+tz-(1-t)x-tx||\leq |1-t|||y-x||+|t|||z-x||,}$

e quindi, tenendo conto che per ogni ${\displaystyle t\in [0,1]}$ risulta ${\displaystyle |1-t|+|t|=1}$, si ha

${\displaystyle d(\xi ,x)\leq |1-t|||y-x||+|t|||z-x||<r(|1-t|+|t|)=r,}$

qualunque sia ${\displaystyle \xi \in \gamma ([0,1])}$. Ne segue che ${\displaystyle B(x,r)}$ è convesso. Da quanto abbiamo appena dimostrato discende che ${\displaystyle B(x,r)}$ è semplicemente connesso.

Una base di intorni (o anche sistema di intorni) è un insieme di intorni di un punto fissato ${\displaystyle x}$ "arbitrariamente piccoli": una base di intorni identifica la "struttura topologica locale" del punto.

Più precisamente, una base di intorni è un insieme di intorni tale che qualsiasi intorno aperto di ${\displaystyle x}$ contiene uno di questi intorni.

Una base di intorni è utile a definire le proprietà locali di un punto, come ad esempio la connessione locale.

Il concetto di intorno può essere analizzato in particolare adottando un generico spazio euclideo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ di dimensione ${\displaystyle n}$. Nello spazio euclideo, come da definizione, un intorno di ${\displaystyle x_{0}}$ è sempre un insieme contenente un insieme aperto ${\displaystyle U}$, contenente a sua volta ${\displaystyle x_{0}}$. In particolare:

• Un intorno sferico aperto di raggio ${\displaystyle r}$ è l'insieme

${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{n}\ |\ d(x,x_{0})<r\}}$

dove si fa uso della distanza euclidea.

• Un intorno rettangolare è un intorno del tipo

${\displaystyle I_{1}\times \ldots \times I_{n}}$

dove ciascun ${\displaystyle I_{i}}$ è un intervallo in ${\displaystyle \mathbb {R} }$, intorno della coordinata ${\displaystyle i}$-esima di ${\displaystyle x_{0}}$.

Dal generico spazio euclideo è possibile ridursi al caso più particolare della retta reale. Un intorno di un punto ${\displaystyle x_{0}}$ della retta reale ${\displaystyle \mathbb {R} }$ è un insieme della retta che contiene un intervallo aperto del tipo

${\displaystyle (x_{0}-\varepsilon ,x_{0}+\varepsilon )}$

dove ${\displaystyle \varepsilon >0}$ è un numero positivo. In particolare:

• L'intorno è aperto se è un insieme aperto
• L'intorno aperto di raggio ${\displaystyle r}$ è l'intervallo aperto ${\displaystyle (x_{0}-r,x_{0}+r)}$.

Un intorno non è necessariamente aperto. Ad esempio, l'intervallo ${\displaystyle [x_{0}-r,x_{0}+r]}$ con ${\displaystyle r>0}$ è un intorno chiuso di ${\displaystyle x_{0}}$.

La definizione di intorno si estende anche alla retta estesa: un intorno di ${\displaystyle +\infty }$ è un insieme che contiene un intervallo aperto della forma ${\displaystyle (M,+\infty )}$, per qualche ${\displaystyle M}$ reale. Analogamente un intorno di ${\displaystyle -\infty }$ è un insieme contenente ${\displaystyle (-\infty ,M)}$.

• Marco Manetti, Topologia, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0756-7.
• Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3.

• Insieme aperto
• Insieme convesso
• Topologia
• Intorno chimico

• Wikizionario contiene il lemma di dizionario «intorno»
• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sull'intorno

• (EN) Eric W. Weisstein, Intorno / Intorno (altra versione), su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Intorno, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

V · D · M Analisi matematica
Calcolo infinitesimale	Numero reale · Infinitesimo · O-grande · Successione (di funzioni) · Successione di Cauchy · Teorema di Bolzano-Weierstrass · Stima asintotica · Limite (di una funzione · di una successione · Forma indeterminata) · Teorema dei due carabinieri · Limite notevole · Punto di accumulazione · Punto isolato · Intorno · Serie (di funzioni) · Criteri di convergenza · Limite di funzioni a più variabili
Studio della continuità	Funzione continua · Punto di discontinuità · Continuità uniforme · Funzione lipschitziana · Teorema di Bolzano · Teorema di Weierstrass · Teorema dei valori intermedi · Teorema di Heine-Cantor · Modulo di continuità · Funzione semicontinua · Continuità separata · Teorema di approssimazione di Weierstrass
Calcolo differenziale	Derivata · Differenziale · Regole di derivazione · Teorema di Fermat · Teorema di Rolle · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teorema di Darboux · Teorema di Taylor · Serie di Taylor · Funzione differenziabile · Gradiente · Jacobiana · Hessiana · Forma differenziale · Generalizzazioni della derivata · Derivata parziale · Derivata mista
Integrale	Primitiva · Integrale di Riemann · Integrale improprio · Integrale di Lebesgue · Teorema fondamentale · Metodi di integrazione · Tavole · Integrale multiplo, di linea (1ª specie · 2ª specie) e di superficie (di volume)
Studio di funzione	Funzione · Variabile · Dominio e codominio · Funzioni pari e dispari · Funzione periodica · Funzione monotona · Funzione convessa · Massimo e minimo di una funzione · Punto angoloso · Cuspide · Punto di flesso · Asintoto · Grafico di una funzione · Funzione iniettiva
Disuguaglianze	Disuguaglianza triangolare · Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Altro	Approssimazione di Stirling · Prodotto di Wallis · Funzione Gamma · Teorema delle funzioni implicite · Teorema della funzione inversa · Funzione hölderiana · Spazio metrico · Spazio normato · Intervallo · Insieme trascurabile · Insieme chiuso · Insieme aperto · Palla · Omeomorfismo · Omeomorfismo locale · Diffeomorfismo · Diffeomorfismo locale · Classe C di una funzione · Equazione differenziale · Problema di Cauchy

V · D · M Topologia
Concetti di Topologia generale	Spazio topologico · Base · Prebase · Ricoprimento · Assiomi di chiusura di Kuratowski · Invariante topologico · Relazione di finezza · Partizione dell'unità · Proprietà dell'intersezione finita Sottoinsiemi Intervallo · Aperto · Intorno · Chiuso · Insieme localmente chiuso · Insieme chiuso-aperto · Parte interna · Chiusura · Frontiera · Insieme derivato · Insieme limite · Insieme perfetto · Insieme denso · Insieme mai denso Punti Punto isolato · Punto di accumulazione · Punto di aderenza Funzioni Funzione continua · Omeomorfismo · Funzione aperta · Funzione chiusa · Funzione propria · Contrazione · Retrazione · Germe di funzione · Funzione a supporto compatto Successioni Limite · Limite di una successione · Successione · Rete · Convergenza · Successione di Cauchy Teoremi Teorema di Weierstrass · Heine-Borel · Tichonov · Lemma del tubo · Urysohn · Tietze · Baire · Brouwer · punto fisso · Teorema di Borsuk · Teorema di Borsuk-Ulam · Teorema della curva di Jordan · Teorema della mappa di Riemann Applicazioni pratiche Topologia dello spazio-tempo · Teoria quantistica dei campi topologica · K-teoria ritorta · Topologia di rete · Controllo della topologia · Topologia molecolare
Spazi topologici	Topologie classiche Topologia banale · Spazio di Sierpiński · Cofinita · Topologia della semicontinuità inferiore · di Zariski · Euclidea · del limite inferiore o di Sorgenfrey · Discreta · Topologia degli interi equispaziati · Insieme reale esteso · Topologia di ordine · Piano di Moore · Topologia p-adica Costruzioni topologiche Topologia prodotto · Topologia di sottospazio · Topologia quoziente · Compattificazione (di Alexandrov · di Stone-Čech) · Cono · Bouquet · Rosa · Sospensione Topologie in Analisi funzionale Spazio funzionale · Topologia iniziale o debole · Topologia operatoriale · Topologia finale o forte · Topologia di Mackey · Topologia polare · Topologie operatoriali debole e forte Altri oggetti topologici Sfera · Palla · Toro · Corpo con manici · Bottiglia di Klein · Bottiglia di Klein solida · Anello · Nastro di Möbius · Retta proiettiva · Piano proiettivo · Superficie di Riemann · Nodo · Nodo torico · Link Frattali Insieme di Cantor · Spazio di Cantor · Polvere di Cantor · Spugna di Menger · Sfera di Alexander · Curva di Peano · Laghi di Wada Strutture miste Spazio vettoriale topologico · Gruppo topologico · Gruppo di Lie · Spazio uniforme · Algebra di Borel
Proprietà degli spazi topologici	Numerabilità Assioma di numerabilità · Spazio primo-numerabile · Spazio separabile · Spazio sequenziale Separazione Assioma di separazione · Spazio T0 · Spazio T1 · Spazio di Hausdorff · Spazio regolare · Spazio di Tichonov · Spazio normale Compattezza Spazio compatto · Spazio paracompatto · Spazio localmente compatto · Spazio di Lindelöf · Sottospazio relativamente compatto · Immersione compatta Connessione Spazio connesso · Spazio semplicemente connesso Metrizzabilità Spazio metrico · Spazio metrico completo · Spazio metrizzabile · Spazio ultrametrico · Spazio pseudometrico · Spazio polacco · Spazio normato · Spazio totalmente limitato Altre proprietà Spazio di Baire · Spazio topologico noetheriano · Spazio omogeneo · Orientazione
Topologia differenziale	Varietà (differenziabile · parallelizzabile · 3-varietà · 3-varietà irriducibile) · Atlante · Diffeomorfismo (locale · di Anosov) · Immersione · Curva · Superficie · Campo vettoriale · Fibrato (principale · vettoriale · Varietà fibrata) · Fibrato tangente · Spazio tangente · Fibrazione di Hopf · Varietà con bordo · Teorema dell'intorno tubolare · Somma connessa · Teorema di Kneser-Milnor · Congettura di geometrizzazione di Thurston · Cobordismo · Dimensione topologica · Topologia in dimensione bassa · Chirurgia di Dehn · Trasversalità · Eversione della sfera · Teoria delle foliazioni · Decomposizione JSJ
Topologia algebrica	Fondamenti Spazio semplicemente connesso · Gruppo fondamentale Omotopia Arco · Nerbo · Omotopia · Gruppi di omotopia Omologia e coomologia Omologia · Omologia singolare · Omologia ciclica · Algebra omologica · Coomologia di De Rham · Categoria abeliana Sollevamento Sollevamento · Teorema del sollevamento dell'omotopia · Teorema di unicità del sollevamento · Teorema di Van Kampen Topologia algebrica avanzata Grado topologico · Indice di avvolgimento · Indice di un campo vettoriale · Rivestimento · Numero di Betti · Successione di Mayer-Vietoris · Successione esatta · Successione spettrale · Complesso simpliciale · Complesso di celle · Complesso di catene · Schema simpliciale Superfici Caratteristica di Eulero · Formula di Eulero per i poliedri · Genere · Taglio · Superficie incompressibile · Classificazione delle superfici · Mapping class group · Teorema della palla pelosa · Teorema di Poincaré-Hopf · Congettura di Poincaré · Congettura di Hodge
Topologi di rilievo	Henri Poincaré · Felix Hausdorff · Georg Cantor · Eduard Čech · John Milnor · Pierre Samuel · Norman Steenrod · René Thom · Samuel Eilenberg · Andrej Nikolaevič Kolmogorov · Stephen Smale · Michael Atiyah · William Thurston · Marston Morse · Luitzen Brouwer

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica